Para cada uma das seguintes matrizes, calcule o posto, a nulidade e a inversa se existir. \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 4\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}
e pede três coisas:
Calcular o posto (rank) de A.
Calcular a nulidade (nullity) de A.
Determinar a inversa de A, se ela existir.]
Passo 2
O que significa cada pedido (explicação didática curta antes de calcular).
Posto de uma matriz: é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Uma maneira prática de encontrar o posto é reduzir a matriz por linhas até a forma escalonada e contar quantas linhas não nulas restam.
Nulidade da matriz (dimensão do núcleo): é a dimensão do espaço de vetores x tais que A x = 0. O Teorema posto–nulidade para matrizes com n colunas diz que
\text{nulidade} = n - \text{posto}.
Aqui n=2.
Inversa: para uma matriz quadrada 2\times2, uma condição simples para existir inversa é \det(A)\neq 0. Se \det(A)=0, a matriz é singular e não tem inversa.
Passo 3
Cálculo do determinante (teste rápido de inversibilidade).
Para a matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
temos \det(A)=ad-bc. Aplicando aos coeficientes de A:
\det(A)=1\cdot4 - 2\cdot2 = 4-4 = 0.
Como \det(A)=0, a matriz é singular e, portanto, NÃO tem inversa. Já respondemos a parte da inversa: não existe.
Passo 4
Determinar o posto por eliminação por linhas (row reduction), passo a passo e explicando as operações.
Começamos com
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}.
Subtrai-se 2 vezes a primeira linha da segunda linha (operação elementar que não altera a independência linear das linhas):
Agora a forma escalonada tem apenas uma linha não nula. O número de linhas não nulas é o posto. Logo o posto de A é 1.
Explicação intuitiva: a segunda linha original era exatamente o dobro da primeira (2,4 = 2\cdot(1,2)), então as duas linhas não são independentes — só uma direção é necessária para gerar ambas.]
Passo 5
Calcular a nulidade usando o Teorema posto–nulidade.
A matriz tem n=2 colunas e posto \text{posto}=1, portanto
\text{nulidade} = n - \text{posto} = 2 - 1 = 1.
Interpretação: o espaço de soluções de A x=0 tem dimensão 1, ou seja, há uma família unidimensional (uma reta através da origem) de vetores nulos.
Passo 6
Encontrar explicitamente o núcleo (nulspace), ou seja, resolver A x=0\) para ver a nulidade "na prática".
Escrevendo \(x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix}\) e a equação \(A x=0\) dá o sistema
\[\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 0,\\[4pt] 2x_1 + 4x_2 = 0. \end{cases}
A segunda equação é apenas 2\] vezes a primeira, então basta a primeira:
\[x_1 + 2x_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -2x_2.\]
Tomando \(x_2 = t como parâmetro livre (t\in\mathbb{R}), obtemos
x = \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2t\\[4pt]t\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto uma base do núcleo é o vetor \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}, confirmando que a nulidade é 1.]
Passo 7
Resumo final e justificativa curta sobre a inexistência da inversa.
A determinante zero mostra que a matriz não é invertível.
Equivalentemente, posto < número de colunas (posto =1<2) mostra que as colunas não formam uma base de \mathbb{R}^2, logo não existe inversa quadrada. Essas são duas maneiras de ver a mesma coisa.