Para cada uma das seguintes matrizes, determine os autovalores e uma base para cada autoespaço. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine a matriz P tal que A=P \cdot D \cdot P^{-1} calcule A^{100}. A=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 4 \\\\ 1 & 0 & 4\end{array}\right]
Para cada autovalor, encontrar uma base do correspondente autoespaço.
Dizer se A é diagonalizável.
Em caso afirmativo, fornecer uma matriz P tal que A = P D P^{-1} (com D diagonal) e calcular A^{100}.
Informações relevantes dadas: a matriz A acima (matriz 3\times3). Não há outras informações externas.]
Passo 2
O que é preciso fazer primeiro: achar os autovalores. Lembrando o procedimento (passo-a-passo): os autovalores \lambda são raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I). Vou calcular \det(A-\lambda I).
Repare que a primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3; isso simplifica o cálculo do determinante: expandindo pela primeira linha, só o primeiro termo contribui. Assim
Cada autovalor aparece uma vez como raiz do polinômio característico (multiplicidade algébrica 1 para cada um). Quando os autovalores são distintos em uma matriz 3\times3, isso já dá forte indício de diagonalizabilidade (vou confirmar encontrando autovetores — deve haver 3 vetores linearmente independentes).
Passo 4
Agora calculo os autovetores (autoespaços) resolvendo [(A-\lambda I)v=0) para cada \lambda. Começo por \lambda=3.
Da terceira equação vem \;x=-z.\] Substituindo na segunda:
\[2(-z)-2y+4z=0 \quad\Rightarrow\quad -2z-2y+4z=0 \quad\Rightarrow\quad 2z-2y=0.\]
Assim \(z=y. Usando x=-z obtemos x=-y. Logo um autovetor livre (escolhendo y=1) é
v_{3}=(-1,\,1,\,1)^T.
Portanto o autoespaço de \lambda=3 é \operatorname{span}\{(-1,1,1)\}.]
Da primeira equação x=0\]. Substituindo \(x=0 nas outras obtém-se 4z=0\Rightarrow z=0. A segunda e terceira ficam satisfeitas. A coordenada y não aparece em nenhuma equação, é livre. Logo escolhemos y=1 e tomamos o autovetor
v_{1}=(0,\,1,\,0)^T.
O autoespaço de \lambda=1 é \operatorname{span}\{(0,1,0)\}.]
\begin{cases} - x = 0\\[4pt] 2x-3y+4z=0\\[4pt] x = 0. \end{cases}
Das primeiras/terceiras equações vem x=0\]. Substituindo na segunda:
\[-3y+4z=0 \quad\Rightarrow\quad 4z=3y \quad\Rightarrow\quad z=\tfrac{3}{4}y.\]
Tomamos um valor inteiro conveniente para \(y, por exemplo y=4, daí z=3. Assim um autovetor é
v_{4}=(0,\,4,\,3)^T.
O autoespaço de \lambda=4 é \operatorname{span}\{(0,4,3)\}.]
Passo 7
Resumindo as dimensões dos autoespaços (multiplicidades geométricas): para cada autovalor obtivemos um autovetor independente, portanto cada autoespaço tem dimensão 1. Como existem 3 autovalores distintos com 3 autovetores linearmente independentes, temos um conjunto de 3 vetores independentes no \mathbb{R}^3. Pelo critério de diagonalização, A é diagonalizável.
Passo 8
Agora escolho uma ordem dos autovalores para formar D e, conforme essa ordem, coloco os autovetores em P como colunas. Vou escolher a ordem \;3,\,1,\,4\;. Então
Para obter uma expressão explícita de A^{100} eu calculo P D^{100} P^{-1}. Uma maneira prática é primeiro formar B=D^{100}P^{-1} (escala as linhas de P^{-1}) e depois multiplicar P por B.
Calculando B=D^{100}P^{-1} (cada linha i de P^{-1} é multiplicada por d_i):
(Na multiplicação usei (4/3)4^{100}=\dfrac{4^{101}}{3} para simplificar as frações; as entradas estão escritas de maneira que se vê a dependência explícita das potências 3^{100} e 4^{100}.)]
Resposta
Autovalores: \;3,\;1,\;4.
Base do autoespaço de \lambda=3: \{(-1,\,1,\,1)\}.
Base do autoespaço de \lambda=1: \{(0,\,1,\,0)\}.
Base do autoespaço de \lambda=4: \{(0,\,4,\,3)\}.
A é diagonalizável: \text{sim}.
Matriz P (colunas = autovetores na ordem \;3,1,4\;):