Para cada uma das seguintes matrizes, determine os autovalores e uma base para cada autoespaço. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine a matriz P tal que A=P \cdot D \cdot P^{-1} calcule A^{100}. A=\left[\begin{array}{rr}-4 & 2 \\\\ 6 & 7\end{array}\right]
Agora resolvo \lambda^{2}-3\lambda-40=0. Uso fórmula de Bhaskara (ou fatoração se possível). O discriminante é
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-40)=9+160=169.
Como \sqrt{169}=13, as raízes são
\lambda=\frac{3\pm13}{2}.
Portanto os autovalores são
\lambda_{1}=8,\qquad \lambda_{2}=-5.
Observação didática: autovalores são os escalares \lambda para os quais existe vetor não nulo v com Av=\lambda v. Eles são raízes do polinômio característico.
Passo 4
Agora encontro os autovetores associados a \lambda_{1}=8. Devemos resolver (A-8I)v=0. Escrevo
Resolvendo o sistema linear (-12) x + 2 y = 0 e 6 x - y = 0. A segunda equação dá y=6x. Substituindo confirma a primeira. Então os vetores próprios são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}1\\[4pt] 6\end{pmatrix}.
Uma base para o autoespaço de \lambda_{1}=8 é, por exemplo,
Didática curta: para \lambda fixo resolvemos um sistema homogêneo; as equações são dependentes e geram um espaço unidimensional (linha de múltiplos de um vetor).]
Passo 5
Agora os autovetores para \lambda_{2}=-5. Calculo A-(-5)I = A+5I:
Resolvendo \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 6 & 12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0 dá x+2y=0, ou x=-2y. Logo autovetores são múltiplos de
Decidir se A é diagonalizável. Critério prático: se conseguimos uma base de \mathbb{R}^{2} (ou \mathbb{C}^2) formada por autovetores, então A é diagonalizável. Como os autovalores \lambda_{1}=8 e \lambda_{2}=-5 são distintos, seus autovetores correspondentes são linearmente independentes. Portanto há dois autovetores linearmente independentes neste caso e A é diagonalizável.
Didática: para matrizes 2\times2, autovalores distintos garantem diagonalização porque geram dois autovetores linearmente independentes.
Passo 7
Construo a matriz P cujas colunas são autovetores correspondendo às entradas apropriadas de D. Vou ordenar D como \operatorname{diag}(8,-5), então escolho
Didática final: o truque é diagonalizar para reduzir a potência de uma matriz a potências escalares sobre a diagonal, que são fáceis de calcular.]
Resposta
Autovalores: \lambda_{1}=8,\; \lambda_{2}=-5.
Base do autoespaço de \lambda_{1}=8: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]6\end{pmatrix}\right\}.
Base do autoespaço de \lambda_{2}=-5: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}. A é diagonalizável: sim.
Uma escolha de P e D: