Para cada uma das seguintes matrizes, determine os autovalores e uma base para cada autoespaço. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine a matriz P tal que A=P \cdot D \cdot P^{-1} calcule A^{100}.
A=\left[\begin{array}{rr}-4 & 2 \\\\ 6 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede, para a matriz
A=\begin{pmatrix}-4 & 2\\[4pt] 6 & 7\end{pmatrix},
que eu determine:
  1. os autovalores de A;
  2. uma base para cada autoespaço (ou seja, vetores próprios associados a cada autovalor);
  3. dizer se A é diagonalizável; se sim, determinar a matriz P tal que A=PDP^{-1};
  4. calcular A^{100}.
Informações dadas: a própria matriz A (todas as entradas estão acima). Não há mais dados externos.]

Passo 2

Vamos encontrar os autovalores: isso vem da equação característica \det(A-\lambda I)=0. Primeiro lembro o determinante de uma matriz 2\times2:
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aplicando a A-\lambda I, temos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-4-\lambda & 2\\[4pt] 6 & 7-\lambda\end{pmatrix}.
Então a equação característica é
\det(A-\lambda I)=(-4-\lambda)(7-\lambda)-2\cdot6=0.]

Passo 3

Calculo explícito do polinômio característico:
(-4-\lambda)(7-\lambda)-12=\lambda^{2}-3\lambda-40.
Agora resolvo \lambda^{2}-3\lambda-40=0. Uso fórmula de Bhaskara (ou fatoração se possível). O discriminante é
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-40)=9+160=169.
Como \sqrt{169}=13, as raízes são
\lambda=\frac{3\pm13}{2}.
Portanto os autovalores são
\lambda_{1}=8,\qquad \lambda_{2}=-5.
Observação didática: autovalores são os escalares \lambda para os quais existe vetor não nulo v com Av=\lambda v. Eles são raízes do polinômio característico.

Passo 4

Agora encontro os autovetores associados a \lambda_{1}=8. Devemos resolver (A-8I)v=0. Escrevo
A-8I=\begin{pmatrix}-4-8 & 2\\[4pt] 6 & 7-8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-12 & 2\\[4pt] 6 & -1\end{pmatrix}.
Resolvendo o sistema linear (-12) x + 2 y = 0 e 6 x - y = 0. A segunda equação dá y=6x. Substituindo confirma a primeira. Então os vetores próprios são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}1\\[4pt] 6\end{pmatrix}.
Uma base para o autoespaço de \lambda_{1}=8 é, por exemplo,
\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt] 6\end{pmatrix}\right\}.
Didática curta: para \lambda fixo resolvemos um sistema homogêneo; as equações são dependentes e geram um espaço unidimensional (linha de múltiplos de um vetor).]

Passo 5

Agora os autovetores para \lambda_{2}=-5. Calculo A-(-5)I = A+5I:
A+5I=\begin{pmatrix}-4+5 & 2\\[4pt] 6 & 7+5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 6 & 12\end{pmatrix}.
Resolvendo \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 6 & 12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0 x+2y=0, ou x=-2y. Logo autovetores são múltiplos de
\begin{pmatrix}-2\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Uma base para o autoespaço de \lambda_{2}=-5 é
\left\{\begin{pmatrix}-2\\[4pt] 1\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 6

Decidir se A é diagonalizável. Critério prático: se conseguimos uma base de \mathbb{R}^{2} (ou \mathbb{C}^2) formada por autovetores, então A é diagonalizável. Como os autovalores \lambda_{1}=8 e \lambda_{2}=-5 são distintos, seus autovetores correspondentes são linearmente independentes. Portanto há dois autovetores linearmente independentes neste caso e A é diagonalizável.
Didática: para matrizes 2\times2, autovalores distintos garantem diagonalização porque geram dois autovetores linearmente independentes.

Passo 7

Construo a matriz P cujas colunas são autovetores correspondendo às entradas apropriadas de D. Vou ordenar D como \operatorname{diag}(8,-5), então escolho
P=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 6 & 1\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}8 & 0\\[4pt] 0 & -5\end{pmatrix}.
Explicação: a primeira coluna de P é um autovetor de \lambda=8, a segunda é um autovetor de \lambda=-5. Isso garante AP=PD, e daí A=PDP^{-1}.]

Passo 8

Calculo P^{-1}. Para 2\times2 uso a fórmula
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aqui a=1,\; b=-2,\; c=6,\; d=1. O determinante é ad-bc=1\cdot1-(-2)\cdot6=1+12=13. Logo
P^{-1}=\frac{1}{13}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] -6 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 9

Calculo A^{100} usando diagonalização. Se A=PDP^{-1}, então
A^{100}=P D^{100} P^{-1}.
Como D é diagonal, elevar é trivial:
D^{100}=\begin{pmatrix}8^{100} & 0\\[4pt] 0 & (-5)^{100}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8^{100} & 0\\[4pt] 0 & 5^{100}\end{pmatrix},
pois 100 é par e (-5)^{100}=5^{100}.
Faço primeiro P D^{100}:
P D^{100}=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 6 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}8^{100} & 0\\[4pt] 0 & 5^{100}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8^{100} & -2\cdot5^{100}\\[4pt] 6\cdot8^{100} & 5^{100}\end{pmatrix}.
Agora multiplico por P^{-1}=\dfrac{1}{13}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] -6 & 1\end{pmatrix}. O produto (antes do fator 1/13) é
\begin{pmatrix}8^{100} & -2\cdot5^{100}\\[4pt] 6\cdot8^{100} & 5^{100}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] -6 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8^{100}+12\cdot5^{100} & 2\cdot8^{100}-2\cdot5^{100}\\[6pt] 6\cdot8^{100}-6\cdot5^{100} & 12\cdot8^{100}+5^{100} \end{pmatrix}.
Finalmente, incluindo o fator 1/13,
A^{100}=\frac{1}{13}\begin{pmatrix} 8^{100}+12\cdot5^{100} & 2\cdot8^{100}-2\cdot5^{100}\\[6pt] 6\cdot8^{100}-6\cdot5^{100} & 12\cdot8^{100}+5^{100} \end{pmatrix}.
Didática final: o truque é diagonalizar para reduzir a potência de uma matriz a potências escalares sobre a diagonal, que são fáceis de calcular.]

Resposta

Autovalores: \lambda_{1}=8,\; \lambda_{2}=-5.
Base do autoespaço de \lambda_{1}=8: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]6\end{pmatrix}\right\}.
Base do autoespaço de \lambda_{2}=-5: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.
A é diagonalizável: sim.
Uma escolha de P e D:
P=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 6 & 1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}8 & 0\\[4pt] 0 & -5\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\frac{1}{13}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] -6 & 1\end{pmatrix}.
Potência:
A^{100}=\frac{1}{13}\begin{pmatrix} 8^{100}+12\cdot5^{100} & 2\cdot8^{100}-2\cdot5^{100}\\[6pt] 6\cdot8^{100}-6\cdot5^{100} & 12\cdot8^{100}+5^{100} \end{pmatrix}.]

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