Para cada uma das seguintes matrizes, determine os autovalores e uma base para cada autoespaço. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine a matriz P tal que A=P \cdot D \cdot P^{-1} calcule A^{100}. A=\left[\begin{array}{rrr}5 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3\end{array}\right]
•uma base para cada autoespaço (autovetores correspondentes);
•dizer se A é diagonalizável;
•em caso afirmativo, determinar uma matriz P tal que A=PDP^{-1};
•calcular A^{100}.
As informações relevantes dadas são apenas os elementos da matriz A acima. A resolução começa calculando os autovalores através do polinômio característico e, em seguida, encontrando os autovetores (núcleos de A-\lambda I).]
Passo 2
Definição e método: um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não-nulo v tal que Av=\lambda v. Isso equivale a (A-\lambda I)v=0, ou seja, v pertence ao núcleo de A-\lambda I. Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico
Como encontramos três autovalores distintos e, para cada um, um autovetor não-nulo (total de 3 autovetores linearmente independentes), concluímos que A é diagonalizável (autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes).
Passo 8
Escolhemos P com colunas formadas por um autovetor de cada autovalor, na mesma ordem que colocaremos em D. Por exemplo, ordenando os autovalores como 5,0,3 tomamos colunas:
Autovalores: \lambda=5,\; \lambda=3,\; \lambda=0.
Para \lambda=5: base do autoespaço \{(-2,0,1)\}.
Para \lambda=3: base do autoespaço \{(0,0,1)\}.
Para \lambda=0: base do autoespaço \{(0,1,0)\}. A é diagonalizável: Sim.
Uma escolha válida é