Para cada uma das seguintes matrizes obtenha uma expressão para

Passo 1

O enunciado pede a expressão de
onde
O conteúdo é cálculo de potências de matrizes, usando a definição de multiplicação de matrizes e explorando a estrutura de “matriz de translação” (ou nilpotente de ordem possui.

Passo 2

Vamos olhar ao produto de duas cópias de G. Pelo produto de matrizes, o elemento (G^2)ij é
(G^2)ij ;=;sumk=1^mgik,gkj
Como gik=1 somente se k=i+1, e gkj=1 somente se j=k+1, para termos contribuição não nula precisamos de
k = i+1 e j = k+1 = (i+1)+1 = i+2
Logo
(G^2)ij = 1, & j = i+2, 0, &caso contrário á

Passo 3

Repetindo o mesmo raciocínio para G^3 = G^2cdot G, vamos obter
(G^3)ij = 1 se e somente se j = i+3,
e zero nos demais casos. Isso sugere que cada multiplicação “desloca” a diagonal de uns mais um passo para a direita.

Passo 4

Por indução no expoente
Então ao calcular e . Assim
á
Isso fecha a indução.

Passo 5

Note que, se n>= m, não existe par (i,j) com 1<= i,j<= m tal que j=i+n, logo todos os elementos de G^n são zero.

Resposta

Para todo
e em particular .

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