Para cada uma das seguintes matrizes obtenha uma expressão para
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma expressão geral para
onde
O conteúdo é potência de matriz e vamos usar multiplicação de matrizes e observação de padrão (nilpotência).
Passo 2
Calculemos primeiras potências para identificar o padrão.
Multiplicando
Multiplicando
E
Passo 3
Note que
F desloca o vetor canônico
ei para
ei+1 . Mais geralmente,
sempre que
i+n<=3 , e zero caso
i+n>3 . Isto mostra que em
F^n só há entradas iguais a
1 na
n -ésima super-diagonal e zeros em todo o resto.
Passo 4
Em notação de entradas, para todo
Em particular, como a matriz é todas as entradas se anulam e
Resposta
Para
ou seja, -ésima super-diagonal e zeros em todo o resto. Em particular
para
.