Para cada uma das seguintes matrizes obtenha uma expressão para A^n=A A ldots A, n in N.
F=[lll0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma expressão geral para
F^n=Fcdot Fcdots F(n vezes),
onde
F= 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
O conteúdo é potência de matriz e vamos usar multiplicação de matrizes e observação de padrão (nilpotência).

Passo 2

Calculemos primeiras potências para identificar o padrão.
Multiplicando
F^2 = Fcdot F = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
E
F^3 = F^2cdot F = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 =03times3

Passo 3

Note que F desloca o vetor canônico ei para ei+1. Mais geralmente,
F^n ei = ei+n
sempre que i+n<=3, e zero caso i+n>3. Isto mostra que em F^n só há entradas iguais a 1 na n-ésima super-diagonal e zeros em todo o resto.

Passo 4

Em notação de entradas, para todo
Em particular, como a matriz é todas as entradas se anulam e

Resposta

Para
ou seja, -ésima super-diagonal e zeros em todo o resto. Em particular para .

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