Para cada uma das seguintes matrizes obtenha uma expressão para .
Passo 1
O enunciado pede para achar a expressão de D^n, onde
D = 0 & i [6pt] -i & 0,
para ninN. O conteúdo aqui é o cálculo de potências de matriz, observando que se encontrarmos uma relação de recorrência simples (por exemplo, D^2), podemos generalizar para todo n.]
Passo 2
Vamos calcular D^2 explicitamente. Usando multiplicação de matrizes:
D^2 =0 & i [3pt] -i & 0 0 & i [3pt] -i & 0 = 0cdot0 + icdot(-i) & 0cdot i + icdot0 [4pt] (-i)cdot0 + 0cdot(-i) & (-i)cdot i + 0cdot0 =1 & 0 [3pt] 0 & 1 = I ]
Passo 3
Como D^2 = I, para qualquer n podemos escrever n=2k ou n=2k+1. Então
D^n = (D^2)^k ;D^r = I^k ;D^r = D^r,
onde r = n bmod 2. Logo:
Se n é par (r=0), D^n = I.
Se n é ímpar (r=1), D^n = D.
Passo 4
Uma forma compacta, usando (-1)^n, é
D^n ;=;1+(-1)^n2,I ;+;1-(-1)^n2,D
De fato, quando n é par, (1+(-1)^n)/2=1 e (1-(-1)^n)/2=0; quando n é ímpar, vale o contrário.
Resposta
Para todo é par},\[4pt] \displaystyleninN, &se D^n = I, &se (n) é par,[4pt] 0 & i [3pt] -i & 0, &se (n) é ímpar é ímpar. \end{cases}]]