Para cada uma das seguintes matrizes obtenha uma expressão para A^n=A A ldots A, n in N.
H=[cccos (alpha) & sin (alpha) -sin (alpha) & cos (alpha)], alpha in R

Passo 1

O enunciado pede para encontrar H^n, onde
H= cos(alpha) & sin(alpha) -sin(alpha) & cos(alpha) ,
para ninN. O conteúdo aqui é reconhecer que H é a matriz de rotação (no plano) de ângulo -alpha e usar propriedades de números complexos para potências de rotação.

Passo 2

Associe o vetor ao número complexo . Então
Logo, aplicar equivale a multiplicar por .

Passo 3

Se cada aplicação de H multiplica por e^-ialpha, então n aplicações multiplicam por
l(e^-ialphar)^n =e^-i nalpha
Ou seja, para todo vetor v,
H^nvlong<=ftrightarrow v;e^-i nalpha

Passo 4

Escrevendo e^-inalpha=cos(nalpha)-isin(nalpha) e traduzindo de volta em matriz, obtemos
H^n = cos(nalpha) & sin(nalpha) -sin(nalpha) & cos(nalpha)

Resposta

H^n = cos(nalpha) & sin(nalpha) -sin(nalpha) & cos(nalpha)

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