Para cada uma das seguintes matrizes obtenha uma expressão para A^n=A A ldots A, n in N.
C=[cc0 & 1 -1 & 0]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
C = 0 & 1 -1 & 0
e pede uma expressão para
C^n = underbraceC cdot C cdots Cn vezes, ninN
O conteúdo aqui é o levantamento de potências de uma matriz que gera rotações de 90^circ no plano, explorando que C^2=-I e que as potências se repetem ciclicamente de período 4.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras potências para identificar o ciclo:
C^2 = 0 & 1 -1 & 0 0 & 1 -1 & 0 = -1 & 0 0 & -1 = -I
Em seguida,
C^3 = C^2cdot C = (-I),C = -C,
e
C^4 = C^2cdot C^2 = (-I),(-I) = I

Passo 3

Vimos que
C^1 = C, C^2 = -I, C^3 = -C, C^4 = I,
e que a partir daí o padrão se repete de quatro em quatro potências. Logo, para qualquer n, basta olhar o resto da divisão de n por 4.

Passo 4

Chamando r o resto de n por 4, ou seja r=nbmod4, temos
C^n = C^r = I, & r=0, C, & r=1, -I, & r=2, -,C, & r=3

Passo 5

Em forma única fechada, usando funções trigonométricas, notamos que C representa rotação de 90^circ, então
C^n = cosl(tfracpi n2r) & sinl(tfracpi n2r) [6pt] -sinl(tfracpi n2r) & cosl(tfracpi n2r) ]

Resposta

C^n = I, & nequiv0pmod4, C, & nequiv1pmod4, -,I, & nequiv2pmod4, -,C, & nequiv3pmod4,
ou equivalentemente
C^n = cosl(tfracpi n2r) & sinl(tfracpi n2r) [6pt] -sinl(tfracpi n2r) & cosl(tfracpi n2r) ]

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