Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
Passo 1
O enunciado pede uma matriz quadrada real tal que
O conteúdo envolvido é o de matrizes nilpotentes, ou seja, matrizes cujo alguma potência é a matriz zero. Queremos o índice de nilpotência igual a 3 (ou seja, a menor potência que zera é 3).
Passo 2
Primeiro, notemos que em dimensão toda matriz nilpotente satisfaz . Para ter exatamente mas , precisamos de . Em dimensão temos sempre quando é nilpotente e não-invertível, de modo que não dá para obter com em .
Passo 3
Em dimensão , podemos usar um bloco de Jordan nilpotente de ordem 3. Por exemplo, seja