Sempre que possível, dê exemplos de matrizes quadradas de entradas reais nas condições indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.
A^3=0 wed>= A^2 neq 0

Passo 1

O enunciado pede uma matriz quadrada real A tal que
A^3=0 e A^2neq0
O conteúdo envolvido é o de matrizes nilpotentes, ou seja, matrizes cujo alguma potência é a matriz zero. Queremos o índice de nilpotência igual a 3 (ou seja, a menor potência que zera é 3).

Passo 2

Primeiro, notemos que em dimensão n toda matriz nilpotente satisfaz A^n=0. Para ter exatamente A^3=0 mas A^2neq0, precisamos de n>=3. Em dimensão 2 temos sempre A^2=0 quando A é nilpotente e não-invertível, de modo que não dá para obter A^3=0 com A^2neq0 em 2times2.

Passo 3

Em dimensão 3, podemos usar um bloco de Jordan nilpotente de ordem 3. Por exemplo, seja
A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Calculando, obtemos
A^2 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 neq 0, A^3 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 =0

Resposta

Um exemplo de matriz real quadrada que satisfaz A^3=0 e A^2neq0 é
A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

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