Esboce as curvas
r(t)=(t, 2, t), t in R

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial vec r(t) = (t,2,t) para t in R. O conteúdo aqui é identificação de retas paramétricas em R^3, e vamos precisar usar as equações paramétricas, o vetor diretor e um ponto da reta para esboçar.

Passo 2

Das componentes de vec r(t) extraímos as equações paramétricas:
x = t,
y = 2,
z = t
Isso mostra que y é constante e que x e z variam na mesma proporção.

Passo 3

Para caracterizar a reta, escolhemos um ponto e o vetor diretor. Em t=0 temos o ponto P0 = vec r(0) = (0,2,0). O vetor diretor é dado pelas derivadas das componentes de vec r(t), ou simplesmente pela diferença quando t varia em 1 unidade, ou seja, vec v = (1,0,1).
Podemos então escrever a equação simétrica da reta no plano y=2:
x - 01 = z - 01, y = 2

Passo 4

Para esboçar: 1) trace os eixos x,y,z três-dimensionais; 2) marque o plano horizontal y=2; 3) indique o ponto (0,2,0) e desenhe uma reta passando por ele na direção de (1,0,1), formando 45° no plano xz.

Resposta

A curva é a reta no plano y=2 passando por (0,2,0) com vetor diretor (1,0,1), dada parametricamente por (x,y,z)=(t,2,t) ou, simetricamente, por x1=z1,;y=2

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