Para cada uma das seguintes parametrizações, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
r(t)=(t+1, t^2-1), t in R

Passo 1

O enunciado dá a parametrização r(t)=(t+1,,t^2-1) para tinR e pede para esboçar a curva no plano e obter sua equação cartesiana. O conteúdo é transformação de equações paramétricas em cartesiano, eliminando o parâmetro.

Passo 2

Da parametrização temos x=t+1, logo t=x-1. Substituindo em y=t^2-1 resulta em y=(x-1)^2-1.

Passo 3

Reconhecemos que a equação cartesiana y=(x-1)^2-1 é uma parábola com vértice em (1,-1) e eixo de simetria vertical. A abertura é para cima, já que o coeficiente de (x-1)^2 é positivo. Para esboçar, marca-se o vértice e alguns pontos simétricos, por exemplo: para x=0 e x=2, temos y=0; para x=1pm2, y=3, etc., e traça-se a curva suave que passa por eles.

Resposta

A curva é a parábola dada por
y=(x-1)^2-1
com vértice em (1,–1), eixo vertical e abertura para cima.

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