Calcule as integrais impróprias a seguir, indicando se elas convergem ou divergem:
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral imprópria
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender onde a função pode se comportar de forma estranha, como pontos onde o denominador é zero, e aplicar conceitos de limites para ver se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
pode ter problemas, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos resolver a equação
.
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, as raízes são
e
.
No intervalo de integração
, temos que
é um ponto onde o denominador é zero, então a função tem uma assíntota vertical em
. Isso significa que a integral é imprópria nesse ponto.
Passo 3
Para calcular a integral imprópria, vamos reescrever a integral como um limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fração
. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a fração fica:
Vamos tentar decompor isso em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
:
Para
:
Para
:
Então, a fração parcial é:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral:
Vamos separar as integrais:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo:
Aplicando isso na nossa expressão:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, analisamos o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda:
Ao analisar
quando
, temos
, então
e
.
Então:
Resposta
A integral
diverge, ou seja, não possui um valor finito.