Calcule as integrais impróprias a seguir, indicando se elas convergem ou divergem:
a. integral0^2 4 x-2x^2-x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral imprópria integral0^2 4x - 2x^2 - x - 2 , dx. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender onde a função pode se comportar de forma estranha, como pontos onde o denominador é zero, e aplicar conceitos de limites para ver se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função 4x - 2x^2 - x - 2 pode ter problemas, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos resolver a equação x^2 - x - 2 = 0.
Resolvendo a equação quadrática:
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Assim, as raízes são x = 2 e x = -1.
No intervalo de integração [0, 2], temos que x = 2 é um ponto onde o denominador é zero, então a função tem uma assíntota vertical em x = 2. Isso significa que a integral é imprópria nesse ponto.

Passo 3

Para calcular a integral imprópria, vamos reescrever a integral como um limite quando b se aproxima de 2 pela esquerda:
integral0^2 4x - 2x^2 - x - 2 , dx = limb to 2^- integral0^b 4x - 2x^2 - x - 2 , dx

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração 4x - 2x^2 - x - 2. Primeiro, fatoramos o denominador:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Então, a fração fica:
4x - 2(x - 2)(x + 1)
Vamos tentar decompor isso em frações parciais. Assumimos que:
4x - 2(x - 2)(x + 1) = Ax - 2 + Bx + 1
Multiplicando ambos os lados por (x - 2)(x + 1):
4x - 2 = A(x + 1) + B(x - 2)
Agora, vamos encontrar os valores de A e B:
Para x = 2:
4(2) - 2 = A(2 + 1) + B(0) Rightarrow 8 - 2 = 3A Rightarrow A = 2
Para x = -1:
4(-1) - 2 = A(0) + B(-1 - 2) Rightarrow -4 - 2 = -3B Rightarrow B = 2
Então, a fração parcial é:
4x - 2(x - 2)(x + 1) = 2x - 2 + 2x + 1

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
limb to 2^- integral0^b ( 2x - 2 + 2x + 1 ) dx
Vamos separar as integrais:
limb to 2^- ( 2 integral0^b 1x - 2 , dx + 2 integral0^b 1x + 1 , dx )

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo:
  1. integral 1x - 2 , dx = ln|x - 2| + C
  2. integral 1x + 1 , dx = ln|x + 1| + C
Aplicando isso na nossa expressão:
2 [ ln|b - 2| - ln|0 - 2| ] + 2 [ ln|b + 1| - ln|0 + 1| ]
Simplificando:
2 [ ln|b - 2| - ln 2 ] + 2 [ ln(b + 1) - ln 1 ]
Sabemos que ln 1 = 0, então:
2 ln|b - 2| - 2 ln 2 + 2 ln(b + 1)

Passo 7

Agora, analisamos o limite quando b se aproxima de 2 pela esquerda:
limb to 2^- ( 2 ln|b - 2| - 2 ln 2 + 2 ln(b + 1) )
Ao analisar ln|b - 2| quando b to 2^-, temos b - 2 to 0^-, então |b - 2| to 0^+ e ln|b - 2| to -infty.
Então:
2 (-infty) - 2 ln 2 + 2 ln 3 = -infty

Resposta

A integral integral0^2 4x - 2x^2 - x - 2 , dx diverge, ou seja, não possui um valor finito.

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