(Questão 03) [2,0 pontos] Sejam E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) e F=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) bases tais que
\overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}-3 \overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}}, \quad \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}}, \quad \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}} .
Exprima o vetor \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}} e \overrightarrow{e_{3}} na base F.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vetores da base F=(\overrightarrow f_{1},\overrightarrow f_{2},\overrightarrow f_{3}) em função da base canônica E=(\overrightarrow e_{1},\overrightarrow e_{2},\overrightarrow e_{3}):
\overrightarrow f_{1}=\overrightarrow e_{1}-3\overrightarrow e_{2}+\overrightarrow e_{3}, \quad \overrightarrow f_{2}=\overrightarrow e_{2}-\overrightarrow e_{3}, \quad \overrightarrow f_{3}=\overrightarrow e_{1}-\overrightarrow e_{2}.
Precisamos escrever \overrightarrow e_{1},\overrightarrow e_{2},\overrightarrow e_{3} em função de (\overrightarrow f_{1},\overrightarrow f_{2},\overrightarrow f_{3}). O conteúdo é mudança de base e vamos usar matriz de passagem e sua inversa.

Passo 2

Formamos a matriz de passagem P cujas linhas são as coordenadas de \overrightarrow f_{i} na base E. Assim,
P = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix},
onde \bigl[f_1\,f_2\,f_3\bigr]_{E} = P\,\bigl[e_1\,e_2\,e_3\bigr]_{E}.

Passo 3

Calculamos o determinante de P para garantir que é invertível. Expandindo pela primeira linha:
\det P = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 0\end{pmatrix} -(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix} = -1 +3 -1 = 1\neq0.

Passo 4

Como \det P=1, a inversa P^{-1} é a matriz adjunta. Calculando cofatores e transpondo, achamos
P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2\\\\ -1 & -1 & 1\\\\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

A relação entre as bases é \bigl[e_1\,e_2\,e_3\bigr]_{F} = P^{-1}\,\bigl[f_1\,f_2\,f_3\bigr]_{F}. As colunas de P^{-1} dão as coordenadas dos \overrightarrow e_{i} na base F. Portanto,
\overrightarrow e_{1} = -\,\overrightarrow f_{1}\;-\;\overrightarrow f_{2}\;+\;2\,\overrightarrow f_{3},
\overrightarrow e_{2} = -\,\overrightarrow f_{1}\;-\;\overrightarrow f_{2}\;+\;\overrightarrow f_{3},
\overrightarrow e_{3} = -\,\overrightarrow f_{1}\;-\;2\,\overrightarrow f_{2}\;+\;\overrightarrow f_{3}.

Resposta

\displaystyle \overrightarrow e_{1} = -\overrightarrow f_{1}-\overrightarrow f_{2}+2\overrightarrow f_{3}, \displaystyle \overrightarrow e_{2} = -\overrightarrow f_{1}-\overrightarrow f_{2}+\overrightarrow f_{3}, \displaystyle \overrightarrow e_{3} = -\overrightarrow f_{1}-2\overrightarrow f_{2}+\overrightarrow f_{3}.

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