(Questão 03) [2,0 pontos] Sejam E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) e F=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) bases tais que
Exprima o vetor \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}} e \overrightarrow{e_{3}} na base F.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos vetores da base F=(\overrightarrow f_{1},\overrightarrow f_{2},\overrightarrow f_{3}) em função da base canônica E=(\overrightarrow e_{1},\overrightarrow e_{2},\overrightarrow e_{3}):
Precisamos escrever \overrightarrow e_{1},\overrightarrow e_{2},\overrightarrow e_{3} em função de (\overrightarrow f_{1},\overrightarrow f_{2},\overrightarrow f_{3}). O conteúdo é mudança de base e vamos usar matriz de passagem e sua inversa.
Passo 2
Formamos a matriz de passagem P cujas linhas são as coordenadas de \overrightarrow f_{i} na base E. Assim,
A relação entre as bases é \bigl[e_1\,e_2\,e_3\bigr]_{F} = P^{-1}\,\bigl[f_1\,f_2\,f_3\bigr]_{F}. As colunas de P^{-1} dão as coordenadas dos \overrightarrow e_{i} na base F. Portanto,