Considere V como o conjunto de pares ordenados de números reais. Para ( a_{1}, a_{2} ) e ( b_{1}, b_{2} ) elementos de V e c \in \mathbb{R}, defina as operações:
\left(a_{1}, a_{2}\right)+\left(b_{1}, b_{2}\right)=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2} b_{2}\right) \quad \text { e } \quad c\left(a_{1}, a_{2}\right)=\left(c a_{1}, a_{2}\right) .
Verifique se ( V,+, \cdot ) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} com essas operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. Caso não seja, identifique quais axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos e justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{R}^2 a “soma” e a “multiplicação por escalar” assim:
(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,\;a_2\,b_2), \quad c\,(a_1,a_2)=(c\,a_1,\;a_2).
Queremos ver se com essas operações V satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Para isso, checaremos os axiomas de adição (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e de inverso) e os axiomas de multiplicação por escalar (fechamento, 1\cdot v=v, (cd)v=c(dv), c(u+v)=cu+cv, (c+d)v=cv+dv e 0_{\mathbb{R}}\cdot v=0_V).

Passo 2

Verificamos primeiro os axiomas da adição:
  1. Fechamento: se (a_1,a_2),(b_1,b_2)\in V, então
(a_1+b_1,\;a_2 b_2)\in\mathbb{R}^2,
logo permanece em V.
2. Comutatividade:
(a_1,a_2)+(b_1,b_2) =(a_1+b_1,\;a_2b_2) =(b_1+a_1,\;b_2a_2) =(b_1,b_2)+(a_1,a_2).
  1. Associatividade: para (a_1,a_2),(b_1,b_2),(c_1,c_2),
    ( (a_1,a_2)+(b_1,b_2) )+(c_1,c_2) = (\,a_1+b_1+c_1,\;(a_2b_2)c_2)
    e
    (a_1,a_2)+((b_1,b_2)+(c_1,c_2)) = (\,a_1+(b_1+c_1),\;a_2(b_2c_2)).
    Como (a_2b_2)c_2 = a_2(b_2c_2), a associação vale.
  2. Elemento neutro: procuramos 0_V=(e_1,e_2) tal que
(a_1,a_2)+(e_1,e_2)=(a_1,a_2).
Isso exige a_1+e_1=a_1\implies e_1=0 e a_2\,e_2=a_2\implies e_2=1. Logo 0_V=(0,1).

Passo 3

Agora a existência de inverso aditivo: para dado (a_1,a_2) queremos (x_1,x_2) com
(a_1,a_2)+(x_1,x_2)=(0,1).
Da primeira coordenada vem a_1+x_1=0\implies x_1=-a_1. Da segunda, a_2\,x_2=1, que só tem solução real se a_2\neq0 (então x_2=1/a_2). Se a_2=0, não existe x_2 tal que 0\cdot x_2=1. Portanto nem todo vetor tem inverso aditivo.

Passo 4

Mesmo que ignorássemos o problema no inverso, a multiplicação por escalar falha em outros axiomas. Por exemplo, a distributividade em relação à soma de escalares:
(c+d)\,(a_1,a_2)=\bigl((c+d)a_1,\;a_2\bigr),
enquanto
c\,(a_1,a_2)+d\,(a_1,a_2) =\bigl(ca_1,\;a_2\bigr)+\bigl(da_1,\;a_2\bigr) =\bigl(ca_1+da_1,\;a_2\cdot a_2\bigr) =\bigl((c+d)a_1,\;a_2^2\bigr).
Como em geral a_2\neq a_2^2, temos (c+d)v\neq cv+dv. Além disso,
0_{\mathbb{R}}\cdot(a_1,a_2) =(0\cdot a_1,\;a_2) =(0,a_2)\neq(0,1)=0_V
para a_2\neq1. Logo falha também o axioma 0_{\mathbb{R}}\cdot v=0_V.

Resposta

Não é espaço vetorial. Falham pelo menos:
  • existência de inverso aditivo para vetores com segunda coordenada igual a zero;
  • distributividade (c+d)v=cv+dv;
  • propriedade 0_{\mathbb{R}}\cdot v=0_V.

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