Considere
como o conjunto de pares ordenados de números reais. Para (
) e (
) elementos de
e
, defina as operações:
Verifique se (
) é um espaço vetorial sobre
com essas operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. Caso não seja, identifique quais axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos e justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define em
a “soma” e a “multiplicação por escalar” assim:
Queremos ver se com essas operações
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
. Para isso, checaremos os axiomas de adição (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e de inverso) e os axiomas de multiplicação por escalar (fechamento,
,
,
,
e
).
Passo 2
Verificamos primeiro os axiomas da adição:
- Fechamento: se
, então
logo permanece em
.
2. Comutatividade:
2. Comutatividade:
- Associatividade: para
,
e
.
Como, a associação vale. - Elemento neutro: procuramos
tal que
Isso exige
e
. Logo
.
Passo 3
Agora a existência de inverso aditivo: para dado
queremos
com
Da primeira coordenada vem
. Da segunda,
, que só tem solução real se
(então
). Se
, não existe
tal que
. Portanto nem todo vetor tem inverso aditivo.
Passo 4
Mesmo que ignorássemos o problema no inverso, a multiplicação por escalar falha em outros axiomas. Por exemplo, a distributividade em relação à soma de escalares:
enquanto
Como em geral
, temos
. Além disso,
para
. Logo falha também o axioma
.
Resposta
Não é espaço vetorial. Falham pelo menos:
- existência de inverso aditivo para vetores com segunda coordenada igual a zero;
- distributividade
; - propriedade
.