Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
(a) x=-4+t, y=5-t, t in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de equações paramétricas: e , onde é qualquer número real. Nosso objetivo aqui é desenhar o gráfico dessa curva e também encontrar a sua equação no sistema cartesiano, ou seja, só em termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas usam um parâmetro, no caso o , para definir as coordenadas e . Isso é útil para descrever curvas de uma forma que pode ser mais fácil de trabalhar em certos contextos.

Passo 3

Para transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, o que precisamos fazer é eliminar o parâmetro . Vamos resolver uma das equações para e substituir na outra.

Passo 4

Vamos pegar a equação de t = x + 4 : . Queremos isolar o , então vamos adicionar 4 dos dois lados:

Passo 5

Agora que temos y = 5 - (x + 4) em termos de , vamos substituir esse valor na equação de : . Substituindo por , fica:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão para deixar a equação mais clara:
y = 5 - x - 4
y = -x + 1

Passo 7

Pronto! Agora temos a equação cartesiana da curva, que é . Isso é uma linha reta com inclinação e intercepto em .

Passo 8

Para esboçar o gráfico, você pode desenhar a linha reta . Por exemplo, quando , , e quando , . Conectando esses pontos, você terá a representação gráfica da curva.

Resposta

A equação cartesiana da curva é e seu gráfico é uma linha reta com inclinação e intercepto em .

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