Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de equações paramétricas:
e
, onde
é qualquer número real. Nosso objetivo aqui é desenhar o gráfico dessa curva e também encontrar a sua equação no sistema cartesiano, ou seja, só em termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas usam um parâmetro, no caso o
, para definir as coordenadas
e
. Isso é útil para descrever curvas de uma forma que pode ser mais fácil de trabalhar em certos contextos.
Passo 3
Para transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, o que precisamos fazer é eliminar o parâmetro
. Vamos resolver uma das equações para
e substituir na outra.
Passo 4
Vamos pegar a equação de
:
. Queremos isolar o
, então vamos adicionar 4 dos dois lados:
Passo 5
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir esse valor na equação de
:
. Substituindo
por
, fica:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão para deixar a equação mais clara:
Passo 7
Pronto! Agora temos a equação cartesiana da curva, que é
. Isso é uma linha reta com inclinação
e intercepto em
.
Passo 8
Para esboçar o gráfico, você pode desenhar a linha reta
. Por exemplo, quando
,
, e quando
,
. Conectando esses pontos, você terá a representação gráfica da curva.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
e seu gráfico é uma linha reta com inclinação
e intercepto em
.