Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
.
Passo 1
O enunciado nos dá as curvas paramétricas
e
para
. O objetivo é esboçar a curva no plano
e encontrar sua equação cartesiana, ou seja, eliminar o parâmetro
.
Passo 2
Isolamos
na primeira equação: como
, temos
. Esta é a principal ação para eliminar o parâmetro.
Passo 3
Substituímos
na expressão de
:
Note que, como
(denominador não pode ser zero), temos
, ou seja,
.
Passo 4
Para esboçar, reconhecemos
como hipérbole retangular com assíntota vertical
e assíntota horizontal
. Analisando o sinal de
:
- Se
, então e , dando o ramo no quadrante acima da assíntota horizontal e à direita da vertical. - Se
, então e , obtendo o ramo abaixo do eixo e à esquerda de .
O comportamento assintótico:faz , faz , leva .
Resposta
A equação cartesiana é
A curva é uma hipérbole retangular com assíntota vertical em
e horizontal em
, tendo o ramo para
(quando
) e o ramo para
(quando
).