Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
(g) x=t+1, y=1t-1, t in R.

Passo 1

O enunciado nos dá as curvas paramétricas x=t+1 e y=1t-1 para tin R. O objetivo é esboçar a curva no plano xy e encontrar sua equação cartesiana, ou seja, eliminar o parâmetro t.

Passo 2

Isolamos t na primeira equação: como x=t+1, temos t=x-1. Esta é a principal ação para eliminar o parâmetro.

Passo 3

Substituímos t=x-1 na expressão de y:
y=1t-1=1(x-1)-1=1x-2
Note que, como tneq1 (denominador não pode ser zero), temos x-2neq0, ou seja, xneq2.

Passo 4

Para esboçar, reconhecemos y=1x-2 como hipérbole retangular com assíntota vertical x=2 e assíntota horizontal y=0. Analisando o sinal de y:
  • Se t>1, então x=t+1>2 e y>0, dando o ramo no quadrante acima da assíntota horizontal e à direita da vertical.
  • Se t<1, então x<2 e y<0, obtendo o ramo abaixo do eixo x e à esquerda de x=2.
    O comportamento assintótico: tto1^+ faz yto+infty, tto1^- faz yto-infty, ttopminfty leva yto0.

Resposta

A equação cartesiana é
y=1x-2
A curva é uma hipérbole retangular com assíntota vertical em x=2 e horizontal em y=0, tendo o ramo para x>2,y>0 (quando t>1) e o ramo para x<2,y<0 (quando t<1).

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