Considere a função f(x)=x^2+1 no intervalo [0,3]. Usando (a), encontre integral0^3 f(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida da função $ f(x) = x^{2} + 1 $ no intervalo de $ 0 $ a $ 3 $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de integração de funções polinomiais e como aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral definida. Basicamente, a integral definida de uma função $ f(x) $ de $ a $ até $ b $ nos dá a área sob a curva dessa função entre esses dois pontos. Matematicamente, isso é representado por:
f(x)
No nosso caso, $ f(x) = x^{2} + 1 $, $ a = 0 $ e $ b = 3 $.

Passo 3

Agora, vamos integrar a função $ f(x) = x^{2} + 1 $.
A integral de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é:
f(x) = x^2 + 1
E a integral de $ 1 $ em relação a $ x $ é:
x^2
Onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, o $ C $ não será necessário.

Passo 4

Vamos somar as integrais que encontramos:
integral (x^2 + 1) , dx = x^33 + x
Essa é a antiderivada de $ f(x) $.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de $ 0 $ a $ 3 $. Isso significa que vamos calcular:
0

Passo 6

Vamos resolver cada parte:
Primeiro, quando $ x = 3 $:
x = 3
Segundo, quando $ x = 0 $:
3^33 + 3 = 273 + 3 = 9 + 3 = 12

Resposta

Subtraindo os valores, temos:
12 - 0 = 12
Portanto, $ \int_{0}^{3} (x^{2} + 1) , dx = 12 $.

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