Considere a função
no intervalo
. Usando (a), encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida da função $ f(x) = x^{2} + 1 $ no intervalo de $ 0 $ a $ 3 $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de integração de funções polinomiais e como aplicar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral definida. Basicamente, a integral definida de uma função $ f(x) $ de $ a $ até $ b $ nos dá a área sob a curva dessa função entre esses dois pontos. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, $ f(x) = x^{2} + 1 $, $ a = 0 $ e $ b = 3 $.
Passo 3
Agora, vamos integrar a função $ f(x) = x^{2} + 1 $.
A integral de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é:
E a integral de $ 1 $ em relação a $ x $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, o $ C $ não será necessário.
Passo 4
Vamos somar as integrais que encontramos:
Essa é a antiderivada de $ f(x) $.
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de $ 0 $ a $ 3 $. Isso significa que vamos calcular:
Passo 6
Vamos resolver cada parte:
Primeiro, quando $ x = 3 $:
Segundo, quando $ x = 0 $:
Resposta
Subtraindo os valores, temos:
Portanto, $ \int_{0}^{3} (x^{2} + 1) , dx = 12 $.