Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
(f) x=t^3-2 t^2+t, y=1-t, t in R.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x = t^3 - 2t^2 + t, y = 1 - t, tinR,
e pede duas coisas: (i) esboçar a curva no plano xy e (ii) encontrar sua equação cartesiana eliminando o parâmetro t.

Passo 2

Como y = 1 - t, isolamos o parâmetro:
t = 1 - y
Substituímos esse valor na expressão de x:
x = (1 - y)^3 - 2(1 - y)^2 + (1 - y)

Passo 3

Agora expandimos e simplificamos:
(1 - y)^3 = 1 - 3y + 3y^2 - y^3, (1 - y)^2 = 1 - 2y + y^2
Logo
x = l(1 - 3y + 3y^2 - y^3r) -2l(1 - 2y + y^2r) + (1 - y)
Somando termo a termo obtemos
x = -y^3 + y^2

Passo 4

A equação cartesiana é
x = -,y^3 + y^2
Para esboçar, observamos:
  • Zeros de x: y^2(1 - y)=0 y=0 e y=1, ambos com x=0.
  • Sinal de x: positivo se 0<y<1, negativo fora desse intervalo.
  • Máximo local em y tal que
dxdy = -3y^2 + 2y = y(-3y + 2) = 0
ocorre em y=0 (ponto de inflexão) e em y=2/3, onde
xl(tfrac23r) = -l(tfrac23r)^3 + l(tfrac23r)^2 = 427

Passo 5

Alguns pontos notáveis (obtidos também parametrizando):
  • t=0Rightarrow (x,y)=(0,1).
  • t=1Rightarrow (x,y)=(0,0).
  • t=2Rightarrow (x,y)=(2,-1).
  • t=-1Rightarrow (x,y)=(-4,2).
    Com esses pontos e o conhecimento de que a curva é uma cúbica em y, damos o seguinte esboço qualitativo: ela parte para a esquerda quando yto+infty, cruza em (-4,2), sobe até (0,1), volta a cruzar em (0,0), atinge um pico em l(tfrac427,tfrac23r) e depois segue decrescendo em y para a direita (passando por (2,-1) e continuando para xto-infty quando yto-infty).

Resposta

A equação cartesiana é
x = -,y^3 + y^2
O esboço consiste em uma cúbica em y com zeros em (0,1) e (0,0), máximo local em l(tfrac427,tfrac23r) e comportamento cúbico típico para ytopminfty.

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