Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
e pede duas coisas: (i) esboçar a curva no plano
e (ii) encontrar sua equação cartesiana eliminando o parâmetro
.
Passo 2
Como
, isolamos o parâmetro:
Substituímos esse valor na expressão de
:
Passo 3
Agora expandimos e simplificamos:
Logo
Somando termo a termo obtemos
Passo 4
A equação cartesiana é
Para esboçar, observamos:
- Zeros de
: dá e , ambos com . - Sinal de
: positivo se , negativo fora desse intervalo. - Máximo local em
tal que
ocorre em
(ponto de inflexão) e em
, onde
Passo 5
Alguns pontos notáveis (obtidos também parametrizando):
-
. -
. -
. -
.
Com esses pontos e o conhecimento de que a curva é uma cúbica em, damos o seguinte esboço qualitativo: ela parte para a esquerda quando , cruza em , sobe até , volta a cruzar em , atinge um pico em e depois segue decrescendo em para a direita (passando por e continuando para quando ).
Resposta
A equação cartesiana é
O esboço consiste em uma cúbica em
com zeros em
e
, máximo local em
e comportamento cúbico típico para
.