Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
.
As equações dos três primeiros itens representam a mesma curva?
As equações dos três primeiros itens representam a mesma curva?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos as equações paramétricas
e
, onde
varia de
a
. O objetivo é esboçar a curva que essas equações representam e encontrar a sua equação cartesiana. Vamos precisar usar conceitos de trigonometria e manipulação de equações para eliminar o parâmetro
.
Passo 2
Para encontrar a equação cartesiana, precisamos eliminar o parâmetro
das equações paramétricas. Isso significa que vamos expressar
em termos de
ou vice-versa, sem depender de
.
Passo 3
Vamos começar isolando
e
nas equações dadas:
Passo 4
Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Substituindo as expressões que encontramos para
e
nessa identidade, temos:
Passo 5
Simplificando os termos, obtemos:
Essa é a equação cartesiana da curva representada pelas equações paramétricas dadas.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
, que representa uma elipse.