Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=3 cos t, y=2 sin t, t in[0,2 pi].
As equações dos três primeiros itens representam a mesma curva?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos as equações paramétricas e , onde varia de a . O objetivo é esboçar a curva que essas equações representam e encontrar a sua equação cartesiana. Vamos precisar usar conceitos de trigonometria e manipulação de equações para eliminar o parâmetro .

Passo 2

Para encontrar a equação cartesiana, precisamos eliminar o parâmetro das equações paramétricas. Isso significa que vamos expressar em termos de ou vice-versa, sem depender de .

Passo 3

Vamos começar isolando cos t = x3 e sin t = y2 nas equações dadas:

Passo 4

Sabemos pela identidade trigonométrica que:
cos^2 t + sin^2 t = 1
Substituindo as expressões que encontramos para ( x3 )^2 + ( y2 )^2 = 1 e nessa identidade, temos:

Passo 5

Simplificando os termos, obtemos:
x^29 + y^24 = 1
Essa é a equação cartesiana da curva representada pelas equações paramétricas dadas.

Resposta

A equação cartesiana da curva é , que representa uma elipse.

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