Calcule as seguintes integrais:
integral t^3+5 t-42 t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral t^3 + 5t - 42t^2,dt. Esse tipo de integral envolve funções racionais simples, e vamos usar a propriedade de linearidade da integral e a regra de potências para resolvê-la.

Passo 2

Reescrevemos o integrando separando os termos:
t^3 + 5t - 42t^2 = t^32t^2 + 5t2t^2 - 42t^2 = 12,t + 52,t^-1 - 2,t^-2

Passo 3

Agora aplicamos a integral termo a termo. Usamos
  • integral t^n,dt = t^n+1n+1 para nneq -1,
  • integral t^-1,dt = ln|t|.
    Assim:
    integral tfrac12,t,dt = tfrac12 cdot tfract^22 = tfract^24,
    integral tfrac52t^-1,dt = tfrac52ln|t|,
    integral -2t^-2,dt = -2 cdot tfract^-1-1 = 2t^-1

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a resposta final.

Resposta

t^24 + 52ln|t| + 2t + C

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