Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado dá as curvas paramétricas
As perguntas são: (i) esboçar a curva; (ii) encontrar a equação cartesiana correspondente. Vou listar as informações que temos: os coeficientes multiplicando
e
são
e
, respectivamente; o parâmetro
varia por todos os reais (logo a curva inteira será percorrida, possivelmente repetidas vezes).
Passo 2
Lembra da identidade trigonométrica fundamental:
. Essa identidade vale para todo
. Aqui aparece
e
, então a estratégia padrão para eliminar o parâmetro é isolar
e
em função de
e
e usar essa identidade.
Passo 3
Isolando
e
das equações paramétricas:
Agora aplico a identidade
. Substituindo as expressões acima obtenho a equação cartesiana:
Passo 4
Interpretação geométrica dessa equação: é a equação de uma elipse centrada na origem. Em geral, a elipse com semi-eixos
e
alinhados aos eixos coordenados tem equação
Comparando com
vê-se que
(semi-eixo ao longo do eixo
) e
(semi-eixo ao longo do eixo
). Portanto os interceptos com os eixos são
e
. Os comprimentos dos eixos são
(eixo maior, no sentido horizontal) e
(eixo menor, no sentido vertical).
Passo 5
Sobre como a curva é percorrida quando
aumenta: para
temos o ponto
. Para pequenos
,
diminui ligeiramente e
, então o ponto vai para cima e um pouco à esquerda — isso indica que o sentido de varredura é anti-horário (sentido anti-horário tradicional, começando em
quando
). O parâmetro
de
a
percorre a elipse uma vez; valores além repetem o traçado periodicamente.
Passo 6
Dicas práticas para esboçar a elipse numa prova (passo a passo concreto):
- Marque o centro em
. - Marque os pontos
e (extremos horizontalmente) e e (extremos verticalmente). - Desenhe uma curva suave que passe por esses quatro pontos, mais larga no sentido horizontal (porque
). - Indique a orientação (setinha anti-horária) se pedirem a orientação do tracejado pelo parâmetro
.
Passo 7
Se quiser conhecer a inclinação da curva num dado
— útil para saber onde a tangente é horizontal ou vertical — use derivadas paramétricas:
Tangente horizontal quando
(pontos
). Tangente vertical quando denominador zero
(pontos
). Isso casa com os extremos que identificamos.
Resposta
Esboço: elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical
; interceptos em
e
; percorre-se no sentido anti-horário quando
aumenta.
Equação cartesiana: