Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
(e) x=3 \cos t, y=2 \operatorname{sen} t, t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá as curvas paramétricas
x=3\cos t,\qquad y=2\operatorname{sen} t,\qquad t\in\mathbb{R}.
As perguntas são: (i) esboçar a curva; (ii) encontrar a equação cartesiana correspondente. Vou listar as informações que temos: os coeficientes multiplicando \cos t e \operatorname{sen} t são 3 e 2, respectivamente; o parâmetro t varia por todos os reais (logo a curva inteira será percorrida, possivelmente repetidas vezes).

Passo 2

Lembra da identidade trigonométrica fundamental: \cos^2 t+\sin^2 t=1. Essa identidade vale para todo t. Aqui aparece \cos t e \operatorname{sen} t, então a estratégia padrão para eliminar o parâmetro é isolar \cos t e \operatorname{sen} t em função de x e y e usar essa identidade.

Passo 3

Isolando \cos t e \operatorname{sen} t das equações paramétricas:
\cos t=\frac{x}{3},\qquad \operatorname{sen} t=\frac{y}{2}.
Agora aplico a identidade \cos^2 t+\sin^2 t=1. Substituindo as expressões acima obtenho a equação cartesiana:
\left(\frac{x}{3}\right)^2+\left(\frac{y}{2}\right)^2=1.

Passo 4

Interpretação geométrica dessa equação: é a equação de uma elipse centrada na origem. Em geral, a elipse com semi-eixos a e b alinhados aos eixos coordenados tem equação
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
Comparando com \left(\dfrac{x}{3}\right)^2+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2=1 vê-se que a=3 (semi-eixo ao longo do eixo x) e b=2 (semi-eixo ao longo do eixo y). Portanto os interceptos com os eixos são (\pm3,0) e (0,\pm2). Os comprimentos dos eixos são 2a=6 (eixo maior, no sentido horizontal) e 2b=4 (eixo menor, no sentido vertical).

Passo 5

Sobre como a curva é percorrida quando t aumenta: para t=0 temos o ponto (3,0). Para pequenos t>0, \cos t diminui ligeiramente e \operatorname{sen} t>0, então o ponto vai para cima e um pouco à esquerda — isso indica que o sentido de varredura é anti-horário (sentido anti-horário tradicional, começando em (3,0) quando t=0). O parâmetro t de 0 a 2\pi percorre a elipse uma vez; valores além repetem o traçado periodicamente.

Passo 6

Dicas práticas para esboçar a elipse numa prova (passo a passo concreto):
  • Marque o centro em (0,0).
  • Marque os pontos (3,0) e (-3,0) (extremos horizontalmente) e (0,2) e (0,-2) (extremos verticalmente).
  • Desenhe uma curva suave que passe por esses quatro pontos, mais larga no sentido horizontal (porque a>b).
  • Indique a orientação (setinha anti-horária) se pedirem a orientação do tracejado pelo parâmetro t.

Passo 7

Se quiser conhecer a inclinação da curva num dado t — útil para saber onde a tangente é horizontal ou vertical — use derivadas paramétricas:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{2\cos t}{-3\sin t}=-\frac{2}{3}\cot t.
Tangente horizontal quando \dfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow \cos t=0 (pontos (0,\pm2)). Tangente vertical quando denominador zero \sin t=0 (pontos (\pm3,0)). Isso casa com os extremos que identificamos.

Resposta

Esboço: elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal a=3 e semi-eixo vertical b=2; interceptos em (\pm3,0) e (0,\pm2); percorre-se no sentido anti-horário quando t aumenta.
Equação cartesiana: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1.

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