Determine os intervalos em que
tem concavidade voltada para cima ou para baixo e determine os pontos de inflexão de
.
Passo 1
A questão pede para achar onde a função
é côncava para cima ou para baixo no intervalo
e ainda identificar os pontos de inflexão. Vamos usar derivadas de ordem 1 e 2 e a definição de concavidade.
Passo 2
Primeiro a gente simplifica
usando a identidade
. Assim,
Passo 3
Agora calculamos as derivadas. Lembrando que
, temos
Passo 4
Pelo teste de concavidade, se
então
é côncava para cima, e se
é côncava para baixo.
Passo 5
Para achar onde
, basta ver onde
. No intervalo
isso ocorre quando
Passo 6
Intersectando com
dá
e
.
Similarmente, quando
, ou seja
.
Similarmente,
Passo 7
Os pontos de inflexão são onde
e troca de sinal. Resolvendo
vem
$$2x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{k\pi}{2}.
$$
Passo 8
Dentro de
isso dá
e
, e de fato em cada um há troca de sinal de
.
Resposta
Concava para cima em
e
; concava para baixo em
. Pontos de inflexão em
e
.