Determine os intervalos em que f tem concavidade voltada para cima ou para baixo e determine os pontos de inflexão de f.
f(x)=sen^2 x-cos 2 x, 0 <= x <= pi

Passo 1

A questão pede para achar onde a função f(x)=sin^2x-cos2x é côncava para cima ou para baixo no intervalo [0,pi] e ainda identificar os pontos de inflexão. Vamos usar derivadas de ordem 1 e 2 e a definição de concavidade.

Passo 2

Primeiro a gente simplifica f(x) usando a identidade sin^2x=tfrac1-cos2x2. Assim,
f(x)=1-cos2x2-cos2x=12-32cos2x

Passo 3

Agora calculamos as derivadas. Lembrando que ddx(cos2x)=-2sin2x, temos
f'(x)=-32cdot(-2sin2x)=3sin2x,
f''(x)=3cdot2cos2x=6cos2x

Passo 4

Pelo teste de concavidade, se f''(x)>0 então f é côncava para cima, e se f''(x)<0 é côncava para baixo.

Passo 5

Para achar onde f''(x)=6cos2x>0, basta ver onde cos2x>0. No intervalo [0,pi] isso ocorre quando
2xin(-tfracpi2,tfracpi2)+2kpiLongrightarrow xin(-tfracpi4,tfracpi4)+kpi

Passo 6

Intersectando com [0,pi] 0 e tfrac3pi4.
Similarmente, f''(x)<0 quando cos2x<0, ou seja tfracpi4.

Passo 7

Os pontos de inflexão são onde f''(x)=0 e troca de sinal. Resolvendo 6cos2x=0 vem
$$2x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{k\pi}{2}.
$$

Passo 8

Dentro de [0,pi] isso dá x=tfracpi4 e x=tfrac3pi4, e de fato em cada um há troca de sinal de f''.

Resposta

Concava para cima em 0 e tfrac3pi4; concava para baixo em tfracpi4. Pontos de inflexão em x=tfracpi4 e x=tfrac3pi4.

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