Esboce o gráfico e calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
(a) x=t, y=b t, z=c t, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica em \mathbb{R}^3
x(t)=t,\qquad y(t)=b\,t,\qquad z(t)=c\,t,
no intervalo 0\le t\le 1. As tarefas pedidas são:
  • Esboçar o gráfico dessa curva.
  • Calcular o comprimento de arco dessa curva para 0\le t\le 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • b e c são constantes (podem ser positivas, negativas ou zero).
  • O parâmetro varia de t=0 até t=1.
  • A curva é dada de forma linear em t.

Passo 2

Entender o que a curva representa geometricamente (como esboçar).
A representação vetorial da curva é útil; defina o vetor posição
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=\bigl(t,\;b t,\;c t\bigr).
Para t=0 obtemos o ponto \mathbf{r}(0)=(0,0,0). Para t=1 obtemos \mathbf{r}(1)=(1,b,c). Como as componentes são todas proporcionais a t, a curva é uma reta que passa pela origem e pelo ponto (1,b,c). Para esboçar:
  • Desenhe um sistema de eixos x,y,z.
  • Marque o ponto (1,b,c) (no plano x=1 com coordenadas y=b, z=c).
  • Trace a reta passando pela origem e por (1,b,c); a porção relevante é o segmento entre t=0 e t=1.
    Dica prática para o esboço na prova: desenhe a origem, coloque x=1 e então suba/abaixe em y=b e para cima/baixo em z=c; ligue com uma reta.

Passo 3

Agora a parte teórica para calcular comprimento de arco: Se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) é diferenciável, o comprimento de arco de t=a até t=b é dado por
L=\int_{a}^{b}\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert\,dt,
onde \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) e \lVert\cdot\rVert é a norma euclidiana, isto é
\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • x'(t) é a derivada de x em relação a t (velocidade na direção x).
  • y'(t) e z'(t) análogas.
  • A expressão sob a raiz é a soma dos quadrados das componentes da velocidade — dá a “rapidez” instantânea.

Passo 4

Calcule as derivadas para a nossa curva. As componentes são lineares, logo
x'(t)=1,\qquad y'(t)=b,\qquad z'(t)=c.
Esses valores são constantes: a velocidade é constante ao longo da reta (isso faz sentido: movimento retilíneo uniforme no espaço).

Passo 5

Calcule a norma da velocidade:
\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert=\sqrt{1^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sqrt{1+b^{2}+c^{2}}.
Observe que o valor é independente de t (constante). Isso simplifica muito a integral do comprimento de arco.

Passo 6

Avalie a integral do comprimento de arco de t=0 até t=1:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+b^{2}+c^{2}}\,dt.
Como a integranda é constante em t, a integral é simplesmente o produto dessa constante pelo comprimento do intervalo:
L=\sqrt{1+b^{2}+c^{2}}\cdot (1-0)=\sqrt{1+b^{2}+c^{2}}.

Passo 7

Interpretação geométrica (útil para a prova): o comprimento do segmento de reta entre \mathbf{r}(0)=(0,0,0) e \mathbf{r}(1)=(1,b,c) é exatamente a distância euclidiana entre esses pontos:
\operatorname{dist}\bigl((0,0,0),(1,b,c)\bigr)=\sqrt{(1-0)^{2}+(b-0)^{2}+(c-0)^{2}}=\sqrt{1+b^{2}+c^{2}},
confirmando o resultado do cálculo pela fórmula de arco. Exemplo rápido: se b=0 e c=0 então L=1; se b=3,c=4 então L=\sqrt{1+9+16}=\sqrt{26}.

Resposta

Esboço: reta (segmento) que liga (0,0,0) a (1,b,c) ao longo do vetor (1,b,c).\n
Comprimento de arco: \sqrt{1+b^{2}+c^{2}}.

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