Aplicando mudança de variáveis calcular a integral dupla
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma região chamada no plano, definida por todos os pontos que satisfazem . O objetivo é calcular a integral dupla de sobre essa região . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis, que ajuda a simplificar a área de integração e a função que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A condição descreve um losango com vértices nos pontos , , e . Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforma esse losango em um quadrado.
Vamos definir duas novas variáveis e da seguinte forma:
Essa transformação é útil porque a condição se torna , que é mais simples de trabalhar.
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo as equações acima:
Com isso, conseguimos reescrever a função que vamos integrar e também a região de integração em termos de e .
Passo 4
O próximo passo é calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano nos ajuda a ajustar a medida de área quando fazemos a mudança de variáveis. Calculamos as derivadas parciais:
Então, o jacobiano é:
Como estamos interessados no valor absoluto do jacobiano, temos |J| = 12.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral original usando as novas variáveis u e v:
integral duplaOmega (x + y)^2 , dx , dy = integral dupla|u| <= 1 u^2 cdot |J| , du , dv = 12 integral dupla|u| <= 1 u^2 , du , dv
Note que a região de integração agora é |u| <= 1 e v pode variar de -1 + |u| a 1 - |u|, mas como a integral de u^2 em relação a v será uma constante multiplicada por u^2, podemos simplificar.
Passo 6
Vamos integrar em v primeiro. Para cada u, v varia de -1 + |u| a 1 - |u|, o que tem comprimento 2(1 - |u|). Então:
12 integral-1^1 u^2 cdot 2(1 - |u|) , du = integral-1^1 u^2 (1 - |u|) , du
Devido à simetria da função, podemos calcular de 0 a 1 e multiplicar por 2:
2 integral0^1 u^2 (1 - u) , du
Passo 7
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
u^2 (1 - u) = u^2 - u^3
Então, a integral fica:
2 integral0^1 (u^2 - u^3) , du = 2 [ integral0^1 u^2 , du - integral0^1 u^3 , du ]
Passo 8
Calculando as integrais:
integral0^1 u^2 , du = u^33 |0^1 = 13 integral0^1 u^3 , du = u^44 |0^1 = 14