Seja Omega a região em R^2 definida por
Omega:=(x, y) /|x|+|y| <= 1
Aplicando mudança de variáveis calcular a integral dupla
integral duplaOmega(x+y)^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma região chamada Omega no plano, definida por todos os pontos (x, y) que satisfazem |x| + |y| <= 1. O objetivo é calcular a integral dupla de (x + y)^2 sobre essa região Omega. Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis, que ajuda a simplificar a área de integração e a função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região Omega. A condição |x| + |y| <= 1 descreve um losango com vértices nos pontos (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1). Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforma esse losango em um quadrado.
Vamos definir duas novas variáveis u e v da seguinte forma:
u = x + y v = x - y
Essa transformação é útil porque a condição |x| + |y| <= 1 se torna |u| <= 1, que é mais simples de trabalhar.

Passo 3

Agora, precisamos expressar x e y em termos de u e v. Resolvendo as equações acima:
x = u + v2 y = u - v2
Com isso, conseguimos reescrever a função que vamos integrar e também a região de integração em termos de u e v.

Passo 4

O próximo passo é calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano nos ajuda a ajustar a medida de área quando fazemos a mudança de variáveis. Calculamos as derivadas parciais:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12 partial ypartial u = 12, partial ypartial v = -12
Então, o jacobiano J é:
J = 12 & 12 12 & -12 = (12)(-12) - (12)(12) = -14 - 14 = -12
Como estamos interessados no valor absoluto do jacobiano, temos |J| = 12.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original usando as novas variáveis u e v:
integral duplaOmega (x + y)^2 , dx , dy = integral dupla|u| <= 1 u^2 cdot |J| , du , dv = 12 integral dupla|u| <= 1 u^2 , du , dv
Note que a região de integração agora é |u| <= 1 e v pode variar de -1 + |u| a 1 - |u|, mas como a integral de u^2 em relação a v será uma constante multiplicada por u^2, podemos simplificar.

Passo 6

Vamos integrar em v primeiro. Para cada u, v varia de -1 + |u| a 1 - |u|, o que tem comprimento 2(1 - |u|). Então:
12 integral-1^1 u^2 cdot 2(1 - |u|) , du = integral-1^1 u^2 (1 - |u|) , du
Devido à simetria da função, podemos calcular de 0 a 1 e multiplicar por 2:
2 integral0^1 u^2 (1 - u) , du

Passo 7

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
u^2 (1 - u) = u^2 - u^3
Então, a integral fica:
2 integral0^1 (u^2 - u^3) , du = 2 [ integral0^1 u^2 , du - integral0^1 u^3 , du ]

Passo 8

Calculando as integrais:
integral0^1 u^2 , du = u^33 |0^1 = 13 integral0^1 u^3 , du = u^44 |0^1 = 14
Substituindo de volta:
2 ( 13 - 14 ) = 2 ( 412 - 312 ) = 2 cdot 112 = 16

Resposta

O valor da integral dupla é 16.

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