Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=t, \quad y=\cos 2 t, \quad t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=t,\qquad y=\cos 2t,\qquad t\in[0,2\pi].
O que se pede:
  • Esboçar a curva no plano xy.
  • Determinar a equação cartesiana que relaciona x e y.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável parâmetro é t e varia no intervalo [0,2\pi].
  • A coordenada x é igual a t, portanto x também varia em [0,2\pi].
  • A coordenada y é dada por \cos 2t, que é uma função trigonométrica com amplitude 1 e argumento 2t.

Passo 2

Como começar a eliminar o parâmetro: se x=t, então podemos substituir t por x em y=\cos 2t. Isso dá imediatamente uma relação entre x e y. Aqui a ideia é simples e direta: quando a equação para x é x=t, o parâmetro é o próprio x.
Explicando a substituição passo a passo:
  • Partimos de x=t. Então \;t=x\;.
  • Substituímos em y=\cos 2t:
y=\cos 2t \quad\Rightarrow\quad y=\cos 2x.
Pronto: obtemos a equação cartesiana relacionando x e y.

Passo 3

Agora vou explicar o que significa a equação \;y=\cos 2x\; e como ela guia o esboço da curva.
Propriedades importantes da função y=\cos 2x:
  • Amplitude: o valor de y varia entre -1 e 1 (porque \cos sempre dá valores nesse intervalo).
  • Período: a função \cos(kx) tem período \dfrac{2\pi}{k}. Aqui k=2, logo o período é
\frac{2\pi}{2}=\pi.
Isto significa que \cos 2x completa uma oscilação inteira quando x sobe de um valor até esse valor mais \pi.
  • Como x varia em [0,2\pi], o argumento 2x varia em [0,4\pi], ou seja, a função \cos 2x completa exatamente duas oscilações (dois períodos) no intervalo dado.

Passo 4

Para esboçar a curva de maneira prática e à prova de prova (sem calculadora), é útil marcar pontos-chave onde a função atinge máximos, mínimos e zeros. Vamos calcular esses pontos para x\in[0,2\pi].
  1. Máximos: \cos atinge 1 quando o argumento é 0+2k\pi. Então
2x=0+2k\pi \Longrightarrow x=k\pi.
No intervalo [0,2\pi] temos x=0,\pi,2\pi, com
y=\cos 2x = 1\quad\text{em }x=0,\pi,2\pi.
  1. Mínimos: \cos atinge -1 quando o argumento é \pi+2k\pi. Então
2x=\pi+2k\pi \Longrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi.
No intervalo [0,2\pi] temos x=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}, com
y=\cos 2x = -1\quad\text{em }x=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}.
  1. Zeros: \cos é zero quando o argumento é \tfrac{\pi}{2}+k\pi. Então
2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \Longrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}.
No intervalo temos os valores x=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4} onde y=0.
Com esses pontos podemos ligar suavemente: começa em (0,1), desce até (\tfrac{\pi}{2},-1), sobe até (\pi,1), repete o padrão até (2\pi,1). A curva é simplesmente o gráfico da função y=\cos 2x para x\in[0,2\pi].

Passo 5

Dicas práticas para desenhar rápido na prova:
  • Trace o eixo x de 0 a 2\pi e marque os pontos 0,\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\pi,\dots,2\pi.
  • No eixo y marque -1 e 1.
  • Coloque os pontos calculados: (0,1), (\tfrac{\pi}{4},0), (\tfrac{\pi}{2},-1), (\tfrac{3\pi}{4},0), (\pi,1), etc.
  • Una-os com uma curva suave e periódica (sem cantos); a derivada existe e é contínua, é uma senoide compressa no eixo x (periodo \pi).
  • Orientação: conforme t aumenta, x aumenta (pois x=t), então o traço é feito no sentido da esquerda para a direita.

Passo 6

Resumo conceitual curto para guardar: quando a parametrização tem x=t, eliminar o parâmetro é trivial — basta substituir t por x. A função resultante pode ser analisada com conceitos básicos de funções trigonométricas (amplitude, período, deslocamento) para desenhar o gráfico sem cálculos complexos.

Resposta

Equação cartesiana: y=\cos 2x,\quad 0\le x\le 2\pi.
Esboço: gráfico da função y=\cos 2x no intervalo x\in[0,2\pi], com amplitude 1, período \pi (duas oscilações completas entre 0 e 2\pi).

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