Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
O que se pede:
- Esboçar a curva no plano
. - Determinar a equação cartesiana que relaciona
e .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável parâmetro é
e varia no intervalo . - A coordenada
é igual a , portanto também varia em . - A coordenada
é dada por , que é uma função trigonométrica com amplitude e argumento .
Passo 2
Como começar a eliminar o parâmetro: se
, então podemos substituir
por
em
. Isso dá imediatamente uma relação entre
e
. Aqui a ideia é simples e direta: quando a equação para
é
, o parâmetro é o próprio
.
Explicando a substituição passo a passo:
- Partimos de
. Então . - Substituímos em
:
Pronto: obtemos a equação cartesiana relacionando
e
.
Passo 3
Agora vou explicar o que significa a equação
e como ela guia o esboço da curva.
Propriedades importantes da função
:
- Amplitude: o valor de
varia entre e (porque sempre dá valores nesse intervalo). - Período: a função
tem período . Aqui , logo o período é
Isto significa que
completa uma oscilação inteira quando
sobe de um valor até esse valor mais
.
- Como
varia em , o argumento varia em , ou seja, a função completa exatamente duas oscilações (dois períodos) no intervalo dado.
Passo 4
Para esboçar a curva de maneira prática e à prova de prova (sem calculadora), é útil marcar pontos-chave onde a função atinge máximos, mínimos e zeros. Vamos calcular esses pontos para
.
- Máximos:
atinge quando o argumento é . Então
No intervalo
temos
, com
- Mínimos:
atinge quando o argumento é . Então
No intervalo
temos
, com
- Zeros:
é zero quando o argumento é . Então
No intervalo temos os valores
onde
.
Com esses pontos podemos ligar suavemente: começa em
, desce até
, sobe até
, repete o padrão até
. A curva é simplesmente o gráfico da função
para
.
Passo 5
Dicas práticas para desenhar rápido na prova:
- Trace o eixo
de a e marque os pontos . - No eixo
marque e . - Coloque os pontos calculados:
, , , , , etc. - Una-os com uma curva suave e periódica (sem cantos); a derivada existe e é contínua, é uma senoide compressa no eixo
(periodo ). - Orientação: conforme
aumenta, aumenta (pois ), então o traço é feito no sentido da esquerda para a direita.
Passo 6
Resumo conceitual curto para guardar: quando a parametrização tem
, eliminar o parâmetro é trivial — basta substituir
por
. A função resultante pode ser analisada com conceitos básicos de funções trigonométricas (amplitude, período, deslocamento) para desenhar o gráfico sem cálculos complexos.
Resposta
Equação cartesiana:
.
Esboço: gráfico da função no intervalo
, com amplitude
, período
(duas oscilações completas entre
e
).
Esboço: gráfico da função