Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=\cos t, \quad y=-3+t, \quad t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas
x=\cos t,\qquad y=-3+t,\qquad t\in[0,2\pi].
O que pede:
  • Esboçar a curva (dar uma ideia clara de como desenhar/visualizar).
  • Determinar a equação cartesiana (eliminar o parâmetro t).
Informações relevantes fornecidas:
  • x é dado por \cos t, portanto x varia entre -1 e 1.
  • y é uma função linear de t: y=-3+t. Quando t varia em [0,2\pi], y varia em [-3,\,2\pi-3].
  • O parâmetro t aumenta no sentido positivo, então a orientação da curva segue t crescente.

Passo 2

Vamos primeiro expressar t em função de y a partir da equação linear que relaciona y e t. Da equação
y=-3+t
temos
t=y+3.
Isto é só reordenar: somar 3 em ambos os lados para isolar t.

Passo 3

Agora substituímos t=y+3 na expressão de x. Da equação
x=\cos t
obtemos, ao substituir,
x=\cos\bigl(y+3\bigr).
Essa é a forma cartesiana: x expresso explicitamente em função de y. Note que não foi necessário usar arco cosseno; mantemos a expressão direta que relaciona x e y.

Passo 4

Determinar o intervalo de y. Como t\in[0,2\pi] e y=-3+t,
y\in[-3,\;2\pi-3].
Numericamente, 2\pi-3\approx 3,283. Portanto a curva corresponde ao gráfico de x=\cos(y+3) restrito ao intervalo de y acima.

Passo 5

Encontrar pontos-chave para esboçar (peguei estes t típicos: 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi):
  • Para t=0: \;x=\cos 0=1,\quad y=-3+0=-3. Ponto \bigl(1,-3\bigr).
  • Para t=\tfrac{\pi}{2}: \;x=\cos\!\tfrac{\pi}{2}=0,\quad y=-3+\tfrac{\pi}{2}=-3+\tfrac{\pi}{2}. Ponto \bigl(0,-3+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
  • Para t=\pi: \;x=\cos\pi=-1,\quad y=-3+\pi. Ponto \bigl(-1,-3+\pi\bigr).
  • Para t=\tfrac{3\pi}{2}: \;x=\cos\!\tfrac{3\pi}{2}=0,\quad y=-3+\tfrac{3\pi}{2}. Ponto \bigl(0,-3+\tfrac{3\pi}{2}\bigr).
  • Para t=2\pi: \;x=\cos(2\pi)=1,\quad y=-3+2\pi. Ponto \bigl(1,-3+2\pi\bigr).
Esses pontos mostram uma oscilação completa de cosseno em x enquanto y cresce de -3 até 2\pi-3.

Passo 6

Descrição do esboço e orientação (como desenhar na prova):
  • Trace os eixos cartesianos normais: eixo horizontal é x (de -1 a 1 é suficiente) e eixo vertical é y (de -3 até aproximadamente 3,283).
  • Marque os pontos listados no Passo 5. Esses pontos mostram que à medida que y aumenta a partir de -3, x parte de 1, decresce passando por 0 em y=-3+\tfrac{\pi}{2}, atinge -1 em y=-3+\pi, volta a 0 em y=-3+\tfrac{3\pi}{2} e retorna a 1 em y=-3+2\pi.
  • Ligue os pontos por uma curva suave: a curva é exatamente a forma de uma função cosseno, mas “deitada” no sentido de x ser função de y. Em termos visuais: é uma faixa ondulada que oscila horizontalmente entre -1 e 1 enquanto sobe verticalmente desde y=-3 até y=2\pi-3.
  • A orientação é para cima (aumentando y) quando se move no sentido de t crescente.
Dica prática para a prova: desenhe primeiro os extremos x=\pm1 e os zeros x=0 no valor de y indicado; a curva seguirá o padrão conhecido do cosseno entre esses pontos.

Passo 7

Resumo matemático final da eliminação do parâmetro e observações finais:
  • Equação cartesiana: \;x=\cos\bigl(y+3\bigr).
  • Domínio (em y): \;y\in[-3,\;2\pi-3].
  • Imagem (em x): \;x\in[-1,1].
  • A curva representa exatamente uma oscilação completa de \cos em x quando y percorre o intervalo acima, com orientação crescente de y.

Resposta

Esboço: curva que oscila horizontalmente entre x=-1 e x=1 enquanto y cresce de -3 até 2\pi-3; passa por (1,-3), \bigl(0,-3+\tfrac{\pi}{2}\bigr), \bigl(-1,-3+\pi\bigr), \bigl(0,-3+\tfrac{3\pi}{2}\bigr), (1,-3+2\pi), e tem orientação para cima.
Equação cartesiana: \;x=\cos\bigl(y+3\bigr),\quad y\in[-3,\;2\pi-3].

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