Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
.
Passo 1
O enunciado nos dá as equações paramétricas
O que pede:
- Esboçar a curva (dar uma ideia clara de como desenhar/visualizar).
- Determinar a equação cartesiana (eliminar o parâmetro
).
Informações relevantes fornecidas:
-
é dado por , portanto varia entre e . -
é uma função linear de : . Quando varia em , varia em . - O parâmetro
aumenta no sentido positivo, então a orientação da curva segue crescente.
Passo 2
Vamos primeiro expressar
em função de
a partir da equação linear que relaciona
e
. Da equação
temos
Isto é só reordenar: somar
em ambos os lados para isolar
.
Passo 3
Agora substituímos
na expressão de
. Da equação
obtemos, ao substituir,
Essa é a forma cartesiana:
expresso explicitamente em função de
. Note que não foi necessário usar arco cosseno; mantemos a expressão direta que relaciona
e
.
Passo 4
Determinar o intervalo de
. Como
e
,
Numericamente,
. Portanto a curva corresponde ao gráfico de
restrito ao intervalo de
acima.
Passo 5
Encontrar pontos-chave para esboçar (peguei estes
típicos:
):
- Para
: Ponto . - Para
: Ponto . - Para
: Ponto . - Para
: Ponto . - Para
: Ponto .
Esses pontos mostram uma oscilação completa de cosseno em
enquanto
cresce de
até
.
Passo 6
Descrição do esboço e orientação (como desenhar na prova):
- Trace os eixos cartesianos normais: eixo horizontal é
(de a é suficiente) e eixo vertical é (de até aproximadamente ). - Marque os pontos listados no Passo 5. Esses pontos mostram que à medida que
aumenta a partir de , parte de , decresce passando por em , atinge em , volta a em e retorna a em . - Ligue os pontos por uma curva suave: a curva é exatamente a forma de uma função cosseno, mas “deitada” no sentido de
ser função de . Em termos visuais: é uma faixa ondulada que oscila horizontalmente entre e enquanto sobe verticalmente desde até . - A orientação é para cima (aumentando
) quando se move no sentido de crescente.
Dica prática para a prova: desenhe primeiro os extremos
e os zeros
no valor de
indicado; a curva seguirá o padrão conhecido do cosseno entre esses pontos.
Passo 7
Resumo matemático final da eliminação do parâmetro e observações finais:
- Equação cartesiana:
. - Domínio (em
): . - Imagem (em
): . - A curva representa exatamente uma oscilação completa de
em quando percorre o intervalo acima, com orientação crescente de .
Resposta
Esboço: curva que oscila horizontalmente entre
e
enquanto
cresce de
até
; passa por
,
,
,
,
, e tem orientação para cima.
Equação cartesiana:
Equação cartesiana: