Como ambas as expressões são iguais a t^{6}, obtemos a relação entre x e y:
y^{2}=x^{3}.
Esta é a equação cartesiana procurada.
Passo 3
Verificação sobre o domínio: a partir de x=t^{2} segue que x\ge 0 para todo t. Portanto a equação y^{2}=x^{3} só corresponde à parte da curva com x\ge 0. Escrevendo y explicitamente em função de x (quando x\ge0):
y=\pm x^{3/2}.
Isto mostra que a curva tem dois ramos (superior e inferior) simétricos em relação ao eixo x.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento e a orientação (como o ponto se move quando t varia).
Primeiro calculemos a derivada dy/dx usando derivadas paramétricas:
e ao fazer t\to 0 isso tende a 0. Logo a tangente no ponto (0,0) é horizontal (reta y=0). O ponto (0,0) é uma cúspide: os dois ramos (superior e inferior) se encontram ali com tangente horizontal, e a curva não é suave neste ponto (é singular).
Passo 6
Para ajudar no esboço, calculemos alguns pontos para valores típicos de t:
Esses pontos mostram: para t<0 a curva está no ramo direito-inferior ( x>0,\\ y<0 ), aproxima-se da origem quando t\to 0^{-}; em t=0 está na origem; para t>0 segue pelo ramo direito-superior ( x>0,\\ y>0 ) saindo da origem.
Passo 7
Resumo do esboço (instruções para desenhar à mão sem calculadora):
Desenhe apenas para x\ge 0.
Trace dois ramos simétricos em torno do eixo x: o superior com y=+x^{3/2} e o inferior com y=-x^{3/2}.
Os ramos se aproximam rapidamente do eixo x perto da origem (tangente horizontal em (0,0)) e crescem curtamente para a direita (para x grande, y cresce como x^{3/2}).
Marque alguns pontos do passo anterior e desenhe setas indicando a orientação: para t aumentando de -\infty até 0 o ponto vem de (+\infty,-\infty) pela aba inferior em direção à origem; para t aumentando de 0 a +\infty o ponto sai da origem pelo ramo superior em direção a (+\infty,+\infty).
Passo 8
Comentários finais e motivação curta: a eliminação do parâmetro foi simples porque potências de t permitiram igualar t^{6}. A curva obtida é a clássica cúspide dada por y^{2}=x^{3}, às vezes chamada de semicúbica (ou cúspide cúbica à direita). Respirar fundo — curvinhas assim aparecem bastante em provas; reconhecer o padrão x=t^{2},y=t^{3}\Rightarrow y^{2}=x^{3} é uma boa “cola mental”.
Resposta
Equação cartesiana: y^{2}=x^{3}.
Esboço / descrição final: curva definida só para x\ge 0, com ramos y=\pm x^{3/2}, simétrica em relação ao eixo x, com cúspide na origem (0,0); orientação: para t aumentando de -\infty a 0 o ponto vem pelo ramo inferior até a origem, e para t aumentando de 0 a +\infty sai da origem pelo ramo superior.