Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=t^{2}, \quad y=t^{3}, \quad t \in R.

Passo 1

O enunciado dá as parametrizações
x=t^{2},\qquad y=t^{3},\qquad t\in\mathbb{R},
e pede duas coisas:
  • esboçar a curva gerada por esses pares (x(t),y(t));
  • determinar a equação cartesiana (isto é, eliminar o parâmetro t).
Informações importantes fornecidas:
  • x e y são expressos em função do parâmetro t.
  • t varia por todos os reais, t\in\mathbb{R}.

Passo 2

A ideia para eliminar o parâmetro é usar potências que igualem as mesmas potências de t. Observe:
x=t^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{3}=(t^{2})^{3}=t^{6}.
E também
y=t^{3}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=(t^{3})^{2}=t^{6}.
Como ambas as expressões são iguais a t^{6}, obtemos a relação entre x e y:
y^{2}=x^{3}.
Esta é a equação cartesiana procurada.

Passo 3

Verificação sobre o domínio: a partir de x=t^{2} segue que x\ge 0 para todo t. Portanto a equação y^{2}=x^{3} só corresponde à parte da curva com x\ge 0. Escrevendo y explicitamente em função de x (quando x\ge0):
y=\pm x^{3/2}.
Isto mostra que a curva tem dois ramos (superior e inferior) simétricos em relação ao eixo x.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento e a orientação (como o ponto se move quando t varia).
Primeiro calculemos a derivada dy/dx usando derivadas paramétricas:
\frac{dy}{dt}=3t^{2},\qquad \frac{dx}{dt}=2t.
Para t\neq 0 vale
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3t^{2}}{2t}=\frac{3}{2}t.
Isso nos diz:
  • para t>0 a inclinação é positiva ( dy/dx>0): o ramo superior sobe ao ir para a direita;
  • para t<0 a inclinação é negativa ( dy/dx<0): o ramo inferior desce ao ir para a direita.

Passo 5

Comportamento na origem t=0. Aqui temos
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0}=0,\qquad \frac{dy}{dt}\Big|_{t=0}=0,
ou seja, ambas as derivadas paramétricas são zero — é um ponto singular. Para determinar a direção do “tangente” podemos usar o quociente incremental:
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y(t)-0}{x(t)-0}=\frac{t^{3}}{t^{2}}=t,
e ao fazer t\to 0 isso tende a 0. Logo a tangente no ponto (0,0) é horizontal (reta y=0). O ponto (0,0) é uma cúspide: os dois ramos (superior e inferior) se encontram ali com tangente horizontal, e a curva não é suave neste ponto (é singular).

Passo 6

Para ajudar no esboço, calculemos alguns pontos para valores típicos de t:
\begin{array}{c|c|c} t & x=t^{2} & y=t^{3} \\\ \hline -2 & 4 & -8 \\\\ -1 & 1 & -1 \\\\ -{\tfrac12} & {\tfrac14} & -{\tfrac18} \\\\ 0 & 0 & 0 \\\ {\tfrac12} & {\tfrac14} & {\tfrac18} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 4 & 8 \end{array}
Esses pontos mostram: para t<0 a curva está no ramo direito-inferior ( x>0,\\ y<0 ), aproxima-se da origem quando t\to 0^{-}; em t=0 está na origem; para t>0 segue pelo ramo direito-superior ( x>0,\\ y>0 ) saindo da origem.

Passo 7

Resumo do esboço (instruções para desenhar à mão sem calculadora):
  • Desenhe apenas para x\ge 0.
  • Trace dois ramos simétricos em torno do eixo x: o superior com y=+x^{3/2} e o inferior com y=-x^{3/2}.
  • Os ramos se aproximam rapidamente do eixo x perto da origem (tangente horizontal em (0,0)) e crescem curtamente para a direita (para x grande, y cresce como x^{3/2}).
  • Marque alguns pontos do passo anterior e desenhe setas indicando a orientação: para t aumentando de -\infty até 0 o ponto vem de (+\infty,-\infty) pela aba inferior em direção à origem; para t aumentando de 0 a +\infty o ponto sai da origem pelo ramo superior em direção a (+\infty,+\infty).

Passo 8

Comentários finais e motivação curta: a eliminação do parâmetro foi simples porque potências de t permitiram igualar t^{6}. A curva obtida é a clássica cúspide dada por y^{2}=x^{3}, às vezes chamada de semicúbica (ou cúspide cúbica à direita). Respirar fundo — curvinhas assim aparecem bastante em provas; reconhecer o padrão x=t^{2},y=t^{3}\Rightarrow y^{2}=x^{3} é uma boa “cola mental”.

Resposta

Equação cartesiana: y^{2}=x^{3}.
Esboço / descrição final: curva definida só para x\ge 0, com ramos y=\pm x^{3/2}, simétrica em relação ao eixo x, com cúspide na origem (0,0); orientação: para t aumentando de -\infty a 0 o ponto vem pelo ramo inferior até a origem, e para t aumentando de 0 a +\infty sai da origem pelo ramo superior.

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