Passo 1
O enunciado dá a função composta
. Interpreto isso como a função inversa da cotangente hiperbólica, ou seja
, onde
depende de
. O que se pede é a derivada
em função de
e de
. Foi também indicada a condição de domínio
.
Passo 2
Primeiro vamos escrever
de forma explícita em termos de
. A definição explícita da função inversa é, para
,
Explicando por que isso vale (passo a passo):
- Se
então . - Usando exponenciais,
. - Colocando
obtém-se . Invertendo essa relação dá . - Como
, segue e portanto
válido quando
(para garantir que os logaritmos são definidos e a inversão é correta).
Passo 3
Agora diferenciamos em relação a
. Como
, vamos usar a regra da cadeia e a regra do logaritmo. Escrevendo
como diferença de logs fica mais simples:
Derivando ambos os lados em relação a
e lembrando que
, obtemos
onde
.
Passo 4
Fatorando
e simplificando a diferença de frações:
O numerador da fração interna é
, logo
Reescrevendo o sinal no denominador,
Aqui é importante notar que a fórmula só faz sentido quando
; combinando com a definição da
temos a condição
, que garante
e o denominador não se anula.