y=\arg \operatorname{cotgh} u \Rightarrow y^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{1-u^{2}},|u|>1

Passo 1

O enunciado dá a função composta y=\arg \operatorname{cotgh} u. Interpreto isso como a função inversa da cotangente hiperbólica, ou seja y=\operatorname{arccoth}(u), onde u=u(x) depende de x. O que se pede é a derivada y' em função de u e de u'. Foi também indicada a condição de domínio |u|>1.

Passo 2

Primeiro vamos escrever y de forma explícita em termos de u. A definição explícita da função inversa é, para |u|>1,
y=\operatorname{arccoth}(u)=\tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{u+1}{u-1}\right).
Explicando por que isso vale (passo a passo):
  • Se y=\operatorname{arccoth}(u) então u=\coth y.
  • Usando exponenciais, \coth y=\dfrac{e^{y}+e^{-y}}{e^{y}-e^{-y}}=\dfrac{e^{2y}+1}{e^{2y}-1}.
  • Colocando t=e^{2y} obtém-se u=\dfrac{t+1}{t-1}. Invertendo essa relação dá t=\dfrac{u+1}{u-1}.
  • Como t=e^{2y}, segue 2y=\ln t e portanto
y=\tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{u+1}{u-1}\right),
válido quando |u|>1 (para garantir que os logaritmos são definidos e a inversão é correta).

Passo 3

Agora diferenciamos em relação a x. Como u=u(x), vamos usar a regra da cadeia e a regra do logaritmo. Escrevendo y como diferença de logs fica mais simples:
y=\tfrac{1}{2}\bigl(\ln(u+1)-\ln(u-1)\bigr).
Derivando ambos os lados em relação a x e lembrando que \dfrac{d}{dx}\ln(g(x))=\dfrac{g'(x)}{g(x)}, obtemos
y'=\tfrac{1}{2}\left(\frac{u'}{u+1}-\frac{u'}{u-1}\right),
onde u'=\dfrac{du}{dx}.

Passo 4

Fatorando u' e simplificando a diferença de frações:
y'=\tfrac{1}{2}u'\left(\frac{1}{u+1}-\frac{1}{u-1}\right) =\tfrac{1}{2}u'\left(\frac{u-1-(u+1)}{(u+1)(u-1)}\right).
O numerador da fração interna é u-1-(u+1)=-2, logo
y'=\tfrac{1}{2}u'\cdot\frac{-2}{u^{2}-1} = u'\cdot\frac{-1}{u^{2}-1}.
Reescrevendo o sinal no denominador,
y'=\frac{u'}{1-u^{2}}.
Aqui é importante notar que a fórmula só faz sentido quando u^{2}\neq1; combinando com a definição da \operatorname{arccoth} temos a condição |u|>1, que garante u^{2}>1 e o denominador não se anula.

Resposta

y'=\dfrac{u'}{1-u^{2}},\\ |u|>1

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