Classificação: Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDOs)
a) y^{\prime}(x)+y^{2}(x)=8.
b) \frac{d}{d t} y(t)+y(t)=2 t y(t).
c) \frac{d}{d x} y(x)=1.
d) \frac{d^{3}}{d t^{3}} y(t)+\frac{d^{2}}{d t^{2}} y(t)=1.
e) y^{\prime}+\mathrm{e}^{-x}=0.
f) y \frac{d^{3}}{d x^{3}} y(x)+y(x)=3.
Pede-se: (i) Classificá-las quanto a linearidade e ordem e (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.

Passo 1

O enunciado nos dá seis equações diferenciais ordinárias e pede duas coisas:
  1. Classificá-las quanto a linearidade e ordem.
  2. Determinar a solução geral daquelas que são homogêneas.
As equações fornecidas são (copiadas exatamente do enunciado):
  • (a) \,y^{\prime}(x)+y^{2}(x)=8\,.
  • (b) \,\dfrac{d}{d t}y(t)+y(t)=2t\,y(t)\,.
  • (c) \,\dfrac{d}{d x}y(x)=1\,.
  • (d) \,\dfrac{d^{3}}{d t^{3}}y(t)+\dfrac{d^{2}}{d t^{2}}y(t)=1\,.
  • (e) \,y^{\prime}+\mathrm{e}^{-x}=0\,.
  • (f) \,y\,\dfrac{d^{3}}{d x^{3}}y(x)+y(x)=3\,.
Informações relevantes que vou usar:
  • Ordem de uma EDO: é a maior derivada que aparece na equação.
  • Linearidade: uma EDO é linear se aparece apenas combinações lineares das derivadas e da função y com coeficientes que podem depender da variável independente (ex.: a_n(x)y^{(n)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=b(x)). Se houver termos não lineares em y ou em suas derivadas (como y^2, produto entre y e y', etc.), a equação é não linear.
  • Uma equação linear é dita homogênea quando o lado direito b(x) é zero (ou, equivalentemente, quando após agrupar os termos, a combinação linear das derivadas e de y é igual a 0).
A resolução começará agora com a classificação e, em seguida, a solução geral para as equações homogêneas identificadas.

Passo 2

Explicando como identificar a ordem (detalhadamente e com exemplo):
  • Procure a maior derivada presente na equação.
  • Exemplos rápidos: se aparece y''' então a ordem é 3; se só aparece y' então a ordem é 1.
Agora classifico a ordem de cada item:
  • (a) maior derivada é y' então ordem 1.
  • (b) maior derivada é \dfrac{d}{dt}y então ordem 1.
  • (c) maior derivada é \dfrac{d}{dx}y então ordem 1.
  • (d) maior derivada é \dfrac{d^{3}}{dt^{3}}y então ordem 3.
  • (e) maior derivada é y' então ordem 1.
  • (f) maior derivada aparente é \dfrac{d^{3}}{dx^{3}}y (mesmo estando multiplicada por y) então ordem 3.

Passo 3

Explicando como identificar linearidade (passo a passo e com atenção às armadilhas):
  • Forma geral linear de ordem n: \,a_n(x)y^{(n)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=b(x)\,. Os coeficientes a_i(x) podem depender da variável independente, mas não de y. Não pode haver termos como y^2, y y', \sin(y), y\cdot y^{(3)}, etc.
  • Se houver qualquer produto entre y (ou derivadas de y) ou alguma função não linear de y, então é não linear.
Agora classifico a linearidade de cada item com justificativa curta:
  • (a) \,y'+y^2=8\,. O termo y^2 é não linear em y. Logo (a) é não linear (ordem 1).
  • (b) \,y'+y=2t\,y\,. Reescrevendo: y'+y-2t\,y=0 ou y'+(1-2t)y=0. Aqui os coeficientes são funções apenas da variável t multiplicando y e não aparecem produtos não-lineares entre y e suas derivadas. Portanto (b) é linear (ordem 1). Além disso o lado direito é 0 após rearranjo, então é homogênea (linear homogênea).
  • (c) \,y'=1\,. Isso tem a forma linear com a_1=1, a_0=0, b(x)=1. Logo (c) é linear (ordem 1), mas não homogênea porque o termo de forçamento b(x)=1 é diferente de zero.
  • (d) \,y'''+y''=1\,. É soma linear de derivadas com coeficientes constantes; portanto linear (ordem 3), não homogênea ( b(t)=1\neq0).
  • (e) \,y'+\mathrm{e}^{-x}=0\,. Colocando na forma y' = -\mathrm{e}^{-x} ou y' + 0\cdot y = -\mathrm{e}^{-x}. É linear (ordem 1), não homogênea ( b(x)=-\mathrm{e}^{-x}\neq0).
  • (f) \,y\,y^{(3)}+y=3\,. Aparece o produto y\cdot y^{(3)}, que é não linear. Portanto (f) é não linear (ordem 3).

Passo 4

Resumo (antes de dar soluções): das seis equações, apenas a(s) que são lineares e têm lado direito zero (após agrupar) são homogêneas. Identificação clara:
  • (b) reescrita como y'+(1-2t)y=0 é linear homogênea de ordem 1.
  • As demais são não homogêneas (lineares não-homogêneas: (c), (d), (e)) ou não-lineares ((a), (f)); portanto, entre as dadas, apenas (b) é homogênea no sentido linear-homogêneo.
Vou agora determinar a solução geral da(s) equação(ões) homogênea(s) identificada(s).

Passo 5

Resolver (b) com detalhamento didático e duas formas possíveis (vou usar a forma mais direta e intuitiva).
Equação (b) reescrita:
y'(t)+(1-2t)\,y(t)=0.
Forma clara: é uma EDO linear de primeira ordem homogênea. Para esse tipo, existe uma receita curta: separar as variáveis (quando possível) ou usar fator integrante. Observe que aqui a equação é separável também porque pode ser escrita como
y' = (2t-1)\,y.
Explicando separação de variáveis: podemos dividir por y (assumindo y\neq0 localmente; a solução identicamente zero será obtida pelo caso constante) e obter
\frac{y'}{y}=2t-1.
Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dt}, temos
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dt}=2t-1.
Integrando ambos os lados em t:
\int \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dt}\,dt = \int (2t-1)\,dt.
No lado esquerdo a integral reduz a \int \dfrac{1}{y}\,dy = \ln|y|. No direito:
\ln|y| = \int (2t-1)\,dt = t^2 - t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
|y| = e^{t^2 - t + C} = e^{C} e^{t^2 - t}.
Denotando C_1 = \pm e^{C} (constante arbitrária não nula) e incluindo a possibilidade C_1=0 cobre a solução y\equiv0, obtemos a solução geral
y(t) = C_1\,e^{t^2 - t},
onde C_1 é constante real arbitrária. Isso é a solução geral da equação homogênea de (b).

Passo 6

Observações didáticas extras (como usar fator integrante — alternativa útil em provas):
  • Para uma EDO linear de 1ª ordem y'+p(t)y=0 a solução geral é y(t)=C\exp\!\big(-\int p(t)\,dt\big). No nosso caso p(t)=1-2t, então
-\int p(t)\,dt = -\int (1-2t)\,dt = -\big(t - t^2\big) = t^2 - t,
levando à mesma solução y(t)=C e^{t^2 - t}.

Passo 7

Confirmei que não há outras equações homogêneas lineares na lista além de (b). Por isso não há outras soluções gerais lineares-homogêneas a apresentar.

Passo 8

Pequeno reforço para a prova (motivação): quando classificar EDOs, sempre faça em duas etapas — primeiro a ordem, depois verifique linearidade olhando para a presença de produtos ou potências de y/derivadas. Em seguida, se for linear e de 1ª ordem, verifique se é homogênea escrevendo tudo no lado esquerdo e vendo se o RHS é zero. Para resolver linear homogênea de 1ª ordem busque separação de variáveis ou a fórmula y=C\exp(-\int p).

Resposta

(a) ordem 1, não linear (não homogênea).
(b) ordem 1, linear homogênea; solução geral \;y(t)=C\,\mathrm{e}^{\,t^{2}-t}.
(c) ordem 1, linear não homogênea.
(d) ordem 3, linear não homogênea.
(e) ordem 1, linear não homogênea.
(f) ordem 3, não linear (não homogênea).

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