Classificação: Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDOs)
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
f)
.
Pede-se: (i) Classificá-las quanto a linearidade e ordem e (ii) determine a solução geral daquelas que são homogêneas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado nos dá seis equações diferenciais ordinárias e pede duas coisas:
- Classificá-las quanto a linearidade e ordem.
- Determinar a solução geral daquelas que são homogêneas.
As equações fornecidas são (copiadas exatamente do enunciado):
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (e)
- (f)
Informações relevantes que vou usar:
- Ordem de uma EDO: é a maior derivada que aparece na equação.
- Linearidade: uma EDO é linear se aparece apenas combinações lineares das derivadas e da função
com coeficientes que podem depender da variável independente (ex.: ). Se houver termos não lineares em ou em suas derivadas (como , produto entre e , etc.), a equação é não linear. - Uma equação linear é dita homogênea quando o lado direito
é zero (ou, equivalentemente, quando após agrupar os termos, a combinação linear das derivadas e de é igual a ).
A resolução começará agora com a classificação e, em seguida, a solução geral para as equações homogêneas identificadas.
Passo 2
Explicando como identificar a ordem (detalhadamente e com exemplo):
- Procure a maior derivada presente na equação.
- Exemplos rápidos: se aparece
então a ordem é ; se só aparece então a ordem é .
Agora classifico a ordem de cada item:
- (a) maior derivada é
então ordem . - (b) maior derivada é
então ordem . - (c) maior derivada é
então ordem . - (d) maior derivada é
então ordem . - (e) maior derivada é
então ordem . - (f) maior derivada aparente é
(mesmo estando multiplicada por ) então ordem .
Passo 3
Explicando como identificar linearidade (passo a passo e com atenção às armadilhas):
- Forma geral linear de ordem
: . Os coeficientes podem depender da variável independente, mas não de . Não pode haver termos como , , , , etc. - Se houver qualquer produto entre
(ou derivadas de ) ou alguma função não linear de , então é não linear.
Agora classifico a linearidade de cada item com justificativa curta:
- (a)
. O termo é não linear em . Logo (a) é não linear (ordem ). - (b)
. Reescrevendo: ou . Aqui os coeficientes são funções apenas da variável multiplicando e não aparecem produtos não-lineares entre e suas derivadas. Portanto (b) é linear (ordem ). Além disso o lado direito é após rearranjo, então é homogênea (linear homogênea). - (c)
. Isso tem a forma linear com , , . Logo (c) é linear (ordem ), mas não homogênea porque o termo de forçamento é diferente de zero. - (d)
. É soma linear de derivadas com coeficientes constantes; portanto linear (ordem ), não homogênea ( ). - (e)
. Colocando na forma ou . É linear (ordem ), não homogênea ( ). - (f)
. Aparece o produto , que é não linear. Portanto (f) é não linear (ordem ).
Passo 4
Resumo (antes de dar soluções): das seis equações, apenas a(s) que são lineares e têm lado direito zero (após agrupar) são homogêneas. Identificação clara:
- (b) reescrita como
é linear homogênea de ordem . - As demais são não homogêneas (lineares não-homogêneas: (c), (d), (e)) ou não-lineares ((a), (f)); portanto, entre as dadas, apenas (b) é homogênea no sentido linear-homogêneo.
Vou agora determinar a solução geral da(s) equação(ões) homogênea(s) identificada(s).
Passo 5
Resolver (b) com detalhamento didático e duas formas possíveis (vou usar a forma mais direta e intuitiva).
Equação (b) reescrita:
Equação (b) reescrita:
Forma clara: é uma EDO linear de primeira ordem homogênea. Para esse tipo, existe uma receita curta: separar as variáveis (quando possível) ou usar fator integrante. Observe que aqui a equação é separável também porque pode ser escrita como
Explicando separação de variáveis: podemos dividir por
(assumindo
localmente; a solução identicamente zero será obtida pelo caso constante) e obter
Escrevendo
, temos
Integrando ambos os lados em
:
No lado esquerdo a integral reduz a
. No direito:
onde
é constante de integração. Exponenciando:
Denotando
(constante arbitrária não nula) e incluindo a possibilidade
cobre a solução
, obtemos a solução geral
onde
é constante real arbitrária. Isso é a solução geral da equação homogênea de (b).
Passo 6
Observações didáticas extras (como usar fator integrante — alternativa útil em provas):
- Para uma EDO linear de 1ª ordem
a solução geral é . No nosso caso , então
levando à mesma solução
.
Passo 7
Confirmei que não há outras equações homogêneas lineares na lista além de (b). Por isso não há outras soluções gerais lineares-homogêneas a apresentar.
Passo 8
Pequeno reforço para a prova (motivação): quando classificar EDOs, sempre faça em duas etapas — primeiro a ordem, depois verifique linearidade olhando para a presença de produtos ou potências de
/derivadas. Em seguida, se for linear e de 1ª ordem, verifique se é homogênea escrevendo tudo no lado esquerdo e vendo se o RHS é zero. Para resolver linear homogênea de 1ª ordem busque separação de variáveis ou a fórmula
.
Resposta
(a) ordem
, não linear (não homogênea).
(b) ordem , linear homogênea; solução geral
.
(c) ordem , linear não homogênea.
(d) ordem , linear não homogênea.
(e) ordem , linear não homogênea.
(f) ordem , não linear (não homogênea).
(b) ordem
(c) ordem
(d) ordem
(e) ordem
(f) ordem