Para cada um dos seguintes pares de quações paramétricas, esboce a curva e determine a equação cartesiana.
x=t^2 e y=t^3, t in R.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas
x = t^2, y = t^3, tinR,
e pede (a) o esboço da curva e (b) a sua forma cartesiana. Vamos usar eliminação de parâmetro para obter a equação em x,y e depois analisar o domínio e a forma geométrica da curva.

Passo 2

Para eliminar t, note que
x = t^2 ;Longrightarrow; t^2 = x,
e portanto
y^2 = (t^3)^2 = t^6 = (t^2)^3 = x^3
Assim a equação cartesiana é
y^2 = x^3

Passo 3

O parâmetro t varia em R, mas como x = t^2 temos sempre x>=0. Logo a curva está restrita à região x>=0.

Passo 4

Analisando a variação de t:
– Para tto+infty, xto+infty e yto+infty, traçando o ramo superior em y=raizx^3.
– Para tto-infty, xto+infty e yto-infty, traçando o ramo inferior em y=-raizx^3.
– Em t=0 chegamos a (x,y)=(0,0), onde há um cusp (pontas unidas) típico da semicu’{b}ica parábola.

Passo 5

Esboço da curva:
– A curva consiste em dois ramos que se abrem para a direita, um no primeiro quadrante e outro no quarto quadrante, encontrando-se num cusp em (0,0).
– Para desenhar, basta marcar alguns pontos: t=1:(1,1), t=2:(4,8), t=-1:(1,-1), t=-2:(4,-8), e ligar suavemente com o cusp na origem.

Resposta

Equação cartesiana:
y^2 = x^3, x>=0
Esboço: semicu’{b}ica parábola com cusp em (0,0) e ramos em (x,y)mid y=pm x^3/2,,x>=0.

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