Para cada um dos seguintes pares de quações paramétricas, esboce a curva e determine a equação cartesiana.
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá as equações paramétricas
e pede (a) o esboço da curva e (b) a sua forma cartesiana. Vamos usar eliminação de parâmetro para obter a equação em
e depois analisar o domínio e a forma geométrica da curva.
Passo 2
Para eliminar
, note que
e portanto
Assim a equação cartesiana é
Passo 3
O parâmetro
varia em
, mas como
temos sempre
. Logo a curva está restrita à região
.
Passo 4
Analisando a variação de
:
– Para ,
e
, traçando o ramo superior em
.
– Para ,
e
, traçando o ramo inferior em
.
– Em chegamos a
, onde há um cusp (pontas unidas) típico da semicu’{b}ica parábola.
– Para
– Para
– Em
Passo 5
Esboço da curva:
– A curva consiste em dois ramos que se abrem para a direita, um no primeiro quadrante e outro no quarto quadrante, encontrando-se num cusp em .
– Para desenhar, basta marcar alguns pontos: ,
,
,
, e ligar suavemente com o cusp na origem.
– A curva consiste em dois ramos que se abrem para a direita, um no primeiro quadrante e outro no quarto quadrante, encontrando-se num cusp em
– Para desenhar, basta marcar alguns pontos:
Resposta
Equação cartesiana:
Esboço: semicu’{b}ica parábola com cusp em
e ramos em
.