Determine se o conjunto
\left{1-x, 1+x, 1-3 x, e^{-x}\right}
é linearmente dependente em
\left(-\infty, \infty\right).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto de funções
,1 - x,;1 + x,;1 - 3x,;e^-x
é linearmente dependente em (-infty,infty).
O conteúdo usado é definição de dependência linear em espaços de funções: existe uma combinação linear não trivial que seja a função zero.

Passo 2

Escrevemos a condição de dependência linear: existem escalares a,b,c,d, não todos zero, tais que
a(1 - x) ;+; b(1 + x) ;+; c(1 - 3x) ;+; d,e^-x ;=; 0
como função identicamente zero para todo xin R.

Passo 3

Observe que ,e^-x não é um polinômio, enquanto as outras três funções são polinômios de grau <=1.
Para que a soma seja zero para todo x, o coeficiente de e^-x deve ser zero, ou seja,
d = 0

Passo 4

Fica então
a(1 - x) + b(1 + x) + c(1 - 3x) = 0
para todo x. Como são três funções em um espaço de polinômios de dimensão 2, necessariamente elas são linearmente dependentes. Para encontrar uma combinação não trivial, expandimos:
a + b + c ;-;(a - b + 3c),x = 0
Igualando coeficientes de x e do termo constante, obtemos o sistema
a + b + c = 0, a - b + 3c = 0

Passo 5

Resolvendo, de a - b + 3c = 0 e a + b + c = 0 vem
a = -2c, b = c
Escolhendo c = 1 (qualquer outro valor só daria múltiplo escalar), temos
a = -2, b = 1, c = 1, d = 0
Logo uma relação não trivial é
-2(1 - x) ;+; 1,(1 + x) ;+; 1,(1 - 3x) ;+; 0cdot e^-x ;=; 0

Resposta

O conjunto é linearmente dependente (por exemplo, -2(1 - x)+(1)(1 + x)+(1)(1 - 3x)=0).

Exercícios relacionados