Determine se o conjunto
\left{1-x, 1+x, 1-3 x, e^{-x}\right}
é linearmente dependente em
\left(-\infty, \infty\right).
\left{1-x, 1+x, 1-3 x, e^{-x}\right}
é linearmente dependente em
\left(-\infty, \infty\right).
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto de funções
é linearmente dependente em .
O conteúdo usado é definição de dependência linear em espaços de funções: existe uma combinação linear não trivial que seja a função zero.
é linearmente dependente em
O conteúdo usado é definição de dependência linear em espaços de funções: existe uma combinação linear não trivial que seja a função zero.
Passo 2
Escrevemos a condição de dependência linear: existem escalares
, não todos zero, tais que
como função identicamente zero para todo
.
Passo 3
Observe que
não é um polinômio, enquanto as outras três funções são polinômios de grau
.
Para que a soma seja zero para todo , o coeficiente de
deve ser zero, ou seja,
Para que a soma seja zero para todo
Passo 4
Fica então
para todo
. Como são três funções em um espaço de polinômios de dimensão
, necessariamente elas são linearmente dependentes. Para encontrar uma combinação não trivial, expandimos:
Igualando coeficientes de
e do termo constante, obtemos o sistema
Passo 5
Resolvendo, de
e
vem
Escolhendo
(qualquer outro valor só daria múltiplo escalar), temos
Logo uma relação não trivial é
Resposta
O conjunto é linearmente dependente (por exemplo,
).