Em cada um dos seguintes problemas, calcule a transformada de Laplace ou transformada inversa de Laplace indicada (Pode usar a definição da transformada de Laplace ou algumas das propriedades apresentadas).
mathscrLcos ^2(t)

Passo 1

Nesse exercício, vamos calcular a transformada de Laplace de cos^2(t). O conteúdo principal envolve a definição da transformada de Laplace e o uso de uma identidade trigonométrica para simplificar cos^2(t) antes de aplicar a linearidade.

Passo 2

Para simplificar cos^2(t), usamos a identidade de ângulo duplo:
cos^2(t)=1+cos(2t)2

Passo 3

Aplicamos então a propriedade de linearidade da transformada de Laplace. Como mathscrLf+g=mathscrLf+mathscrLg e mathscrLc,f(t)=c,mathscrLf(t), temos:
mathscrLcos^2(t) =mathscrLl1+cos(2t)2r =12,mathscrL1+12,mathscrLcos(2t)

Passo 4

Lembrando que mathscrL1=1s para s>0 e mathscrLcos(omega t)=ss^2+omega^2, com omega=2, obtemos:
$$\mathscr{L}{\cos^2(t)}
=\frac12\cdot\frac1s+\frac12\cdot\frac{s}{s^2+4}.$$

Passo 5

Basta agora somar as frações para achar a forma simplificada:
$$\frac1{2s}+\frac s{2(s^2+4)}
=\frac{s2+2}{2s,(s2+4)}.$$

Resposta

dfracs^2+22s,(s^2+4)

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