Usando a transformada da integral, calcule f(t), sabendo que L(f) é igual a:
10s^3-pi s^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função L(f) = 10s^3 - pi s^2 cuja transformada de Laplace é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são ferramentas matemáticas usadas para resolver equações diferenciais e analisar sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a fração e depois aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da transformada de Laplace:
10s^3 - pi s^2
Podemos fatorar o denominador para torná-lo mais fácil de trabalhar:
s^3 - pi s^2 = s^2(s - pi)
Então, a expressão fica:
10s^2(s - pi)

Passo 3

Agora, vamos separar essa fração em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa. Queremos encontrar constantes 10s^2(s - pi) = As + Bs^2 + Cs - pi e 10 = A s (s - pi) + B (s - pi) + C s^2 tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de 10 = A cdot 0 cdot (-pi) + B (-pi) + C cdot 0 Rightarrow 10 = -Bpi Rightarrow B = -10pi , 10 = A pi (0) + B (0) + C pi^2 Rightarrow 10 = C pi^2 Rightarrow C = 10pi^2 e 10 = A s^2 - A pi s + B s - B pi + C s^2 . Para isso, escolhemos valores específicos de A + C = 0 Rightarrow A = -C = -10pi^2 que simplificam a equação:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para encontrar , podemos expandir a equação original:
Comparando os coeficientes:

Passo 5

Com os valores de 10s^2(s - pi) = -10pi^2s + -10pis^2 + 10pi^2s - pi , -10pi^2 cdot 1s - 10pi cdot 1s^2 + 10pi^2 cdot 1s - pi e encontrados, a expressão de frações parciais fica:
Agora, vamos simplificar:

Passo 6

Agora que temos a expressão em frações parciais, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-11s = 1
L^-11s^2 = t
L^-11s - a = e^a t
Aplicando isso aos nossos termos:
f(t) = -10pi^2 cdot 1 - 10pi cdot t + 10pi^2 e^pi t

Resposta

f(t) = -10pi^2 - 10pi t + 10pi^2 e^pi t

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