Usando a transformada da integral, calcule
, sabendo que
é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função
cuja transformada de Laplace é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que são ferramentas matemáticas usadas para resolver equações diferenciais e analisar sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a fração e depois aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da transformada de Laplace:
Podemos fatorar o denominador para torná-lo mais fácil de trabalhar:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos separar essa fração em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Para isso, escolhemos valores específicos de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para encontrar
, podemos expandir a equação original:
Comparando os coeficientes:
Passo 5
Com os valores de
,
e
encontrados, a expressão de frações parciais fica:
Agora, vamos simplificar:
Passo 6
Agora que temos a expressão em frações parciais, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos: