(Existência da transformada de Laplace). No Exercício 6 da Lista 1, vimos que nem toda função
definida para
possui uma transformada de Laplace
. Mostre que se
é integrável e tem crescimento de ordem exponencial da forma
então a transformada de Laplace
existe para todo
.
Sugestão: Utilize a definição de
e mostre que
é integrável com respeito a variável
, quando
é integrável e
.
Sugestão: Utilize a definição de
Passo 1
Temos que f:[0,+∞)→ℝ é integrável e satisfaz crescimento exponencial da forma |f(t)|≤M e^{k t}. Precisamos mostrar que sua transformada de Laplace
Passo 2
Definição: A transformada de Laplace é
Para existir, precisamos que essa integral seja absolutamente convergente, isto é,
Devemos verificar que . Vamos separar em duas partes fazendo um corte em um ponto arbitrário
:
Devemos verificar que
Passo 3
Para o trecho de 0 a T:
Como f é integrável em [0,+∞), essa parte é finita.
Passo 4
Para o trecho de T a +∞, usamos o crescimento exponencial: |f(t)|≤M e^{k t}. Então
Passo 5
A integral do lado direito é uma integral exponencial convergente sempre que
, valendo
Passo 6
Somando as duas partes, ambas finitas, conclui-se que
sempre que
.
Resposta
Para todo
, a transformada de Laplace
existe, pois
.