(Existência da transformada de Laplace). No Exercício 6 da Lista 1, vimos que nem toda função f(t) definida para t >= 0 possui uma transformada de Laplace L(f). Mostre que se f:[0,+infty) R é integrável e tem crescimento de ordem exponencial da forma
|f(t)| <= M e^k t
então a transformada de Laplace L(f) existe para todo s in(0,+infty).
Sugestão: Utilize a definição de L e mostre que e^-s t f(t) é integrável com respeito a variável t, quando f é integrável e s>k.

Passo 1

Temos que f:[0,+∞)→ℝ é integrável e satisfaz crescimento exponencial da forma |f(t)|≤M e^{k t}. Precisamos mostrar que sua transformada de Laplace

Passo 2

Definição: A transformada de Laplace é L(f)(s)=integral0^+inftye^-stf(t),dtPara existir, precisamos que essa integral seja absolutamente convergente, isto é,
Devemos verificar que integral0^+infty|e^-stf(t)|,dt<+infty. Vamos separar em duas partes fazendo um corte em um ponto arbitrário T>0:

Passo 3

Para o trecho de 0 a T: integral0^T|e^-stf(t)|,dt<=integral0^T|f(t)|,dtComo f é integrável em [0,+∞), essa parte é finita.

Passo 4

Para o trecho de T a +∞, usamos o crescimento exponencial: |f(t)|≤M e^{k t}. Então
integralT^+infty|e^-stf(t)|,dt<= MintegralT^+inftye^-ste^kt,dt=MintegralT^+inftye^-(s-k)t,dt

Passo 5

A integral do lado direito é uma integral exponencial convergente sempre que s-k>0, valendo
MintegralT^+inftye^-(s-k)t,dt=Ms-ke^-(s-k)T<+infty

Passo 6

Somando as duas partes, ambas finitas, conclui-se que integral0^+infty|e^-stf(t)|,dt<+infty sempre que s>k.

Resposta

Para todo s>k, a transformada de Laplace L(f)(s) existe, pois integral0^+infty|e^-stf(t)|,dt<+infty.

Exercícios relacionados