Em cada um dos seguintes problemas, calcule a transformada de Laplace ou transformada inversa de Laplace indicada (Pode usar a definição da transformada de Laplace ou algumas das propriedades apresentadas).
mathscrL^-11(s-1)(s+1)(s-2)

Passo 1

O problema pede para calcular a transformada inversa de Laplace mathscrL^-11/[(s-1)(s+1)(s-2)]. O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace de uma função racional. Para resolver vamos usar a propriedade de decomposição em frações parciais e o fato de que mathscrL^-11/(s-a) = e^at.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a função como soma de frações simples:
1(s-1)(s+1)(s-2) = As-1 + Bs+1 + Cs-2
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+1)(s-2) obtemos
1 = A(s+1)(s-2) + B(s-1)(s-2) + C(s-1)(s+1)

Passo 3

Para achar A,B,C usamos valores estratégicos de s:
  • Se s=1: 1 = A(1+1)(1-2) = Acdot 2cdot(-1) = -2A implies A = -tfrac12
    - Se s=-1:
    1 = B(-1-1)(-1-2) = Bcdot(-2)cdot(-3) = 6B implies B = tfrac16
  • Se s=2: 1 = C(2-1)(2+1) = Ccdot1cdot3 = 3C implies C = tfrac13

Passo 4

Agora usamos a propriedade de inversão:
mathscrL^-1tfracAs-1 = A e^t, mathscrL^-1tfracBs+1 = B e^-t, mathscrL^-1tfracCs-2 = C e^2t
Substituindo A,B,C achados, a função no domínio do tempo é
f(t) = -tfrac12 e^t + tfrac16 e^-t + tfrac13 e^2t

Resposta

-\tfrac12 e^{t} + \tfrac16 e^{-t} + \tfrac13 e^{2t}

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