Em cada um dos seguintes problemas, calcule a transformada de Laplace ou transformada inversa de Laplace indicada (Pode usar a definição da transformada de Laplace ou algumas das propriedades apresentadas).
Passo 1
O problema pede para calcular a transformada inversa de Laplace
. O conteúdo aqui é transformada inversa de Laplace de uma função racional. Para resolver vamos usar a propriedade de decomposição em frações parciais e o fato de que
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a função como soma de frações simples:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 3
Para achar
usamos valores estratégicos de
:
- Se
:
- Se:
- Se
:
Passo 4
Agora usamos a propriedade de inversão:
Substituindo
achados, a função no domínio do tempo é
Resposta
-\tfrac12 e^{t} + \tfrac16 e^{-t} + \tfrac13 e^{2t}