Denotamos por u a função de Heaviside (função degrau unitário). Esboce o gráfico da função:
(t-3) u(t-2)-(t-2) u(t-3)

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado nos pede para esboçar o gráfico da função (t-3) u(t-2) - (t-2) u(t-3). Aqui, u(t) é a função de Heaviside, também conhecida como função degrau unitário. O conteúdo envolvido é análise de funções por partes e gráficos de funções com degraus. Para resolver, vamos precisar entender como a função de Heaviside funciona e como aplicar isso na expressão dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função de Heaviside, u(t-a). Essa função vale 0 quando t < a e 1 quando t >= a. Isso significa que ela “liga” uma parte da função a partir do ponto t = a. Então, na nossa expressão, temos dois termos com funções de Heaviside: u(t-2) e u(t-3). Esses vão ativar partes diferentes da função em t=2 e t=3.

Passo 3

Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. (t-3) u(t-2):
    • Para t < 2: u(t-2) = 0, então o termo todo é 0.
    • Para t >= 2: u(t-2) = 1, então o termo vira (t-3).
  2. (t-2) u(t-3):
    • Para t < 3: u(t-3) = 0, então o termo todo é 0.
    • Para t >= 3: u(t-3) = 1, então o termo vira (t-2).

Passo 4

Agora, vamos combinar os dois termos na expressão completa: (t-3) u(t-2) - (t-2) u(t-3). Vamos ver o que acontece em diferentes intervalos de t:
  1. Para t < 2:
    • Ambos os u(t-2) e u(t-3) são 0.
    • Logo, f(t) = 0 - 0 = 0.
  2. Para 2 <= t < 3:
    • u(t-2) = 1 e u(t-3) = 0.
    • Então, f(t) = (t-3) - 0 = t - 3.
  3. Para t >= 3:
    • Ambos os u(t-2) e u(t-3) são 1.
    • Então, f(t) = (t-3) - (t-2) = -1.

Passo 5

Vamos resumir os resultados dos intervalos para facilitar o esboço do gráfico:
f(t) = 0, & t < 2 t - 3, & 2 <= t < 3 -1, & t >= 3

Resposta

O gráfico da função (t-3) u(t-2) - (t-2) u(t-3) é dado por:
f(t) = 0, & t < 2 t - 3, & 2 <= t < 3 -1, & t >= 3
Isso significa que para t menor que 2, a função é zero. Entre 2 e 3, ela aumenta linearmente com inclinação 1, e para t maior ou igual a 3, ela se mantém constante em -1.

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