Em cada um dos seguintes problemas, calcule a transformada de Laplace ou transformada inversa de Laplace indicada (Pode usar a definição da transformada de Laplace ou algumas das propriedades apresentadas).
mathscrL2 t e^-t

Passo 1

No enunciado precisamos calcular a transformada de Laplace da função f(t)=2t e^{−t}. O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar a definição integral dessa transformada.

Passo 2

Pela definição de Laplace, temos
mathscrL2t,e^-t=integral0^infty2t,e^-te^-st,dt=2integral0^inftyt,e^-(s+1)t,dt

Passo 3

Para calcular I= integral0^inftyt,e^-a t,dt com a= s+1 (e Re(a)>0), usamos a fórmula padrão
integral0^inftyt,e^-a t,dt=1a^2
Substituindo a=s+1, obtemos
2integral0^inftyt,e^-(s+1)t,dt=2(s+1)^2

Passo 4

Verificamos que essa expressão é válida para Re(s+1)>0, isto é, Re(s)>−1, garantindo a convergência da integral.

Resposta

2(s+1)^2

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