Encontre e classifique os extremos da equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os extremos da função
Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas para identificar os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos, ou seja, os seus extremos. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero ou indefinida, e então analisar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Para isso, usaremos a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra. A regra diz que se
, então
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
e
Subtraindo:
Então, a derivada simplificada é:
Passo 5
Vamos fatorar o numerador para facilitar:
Então,
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver onde
ou onde a derivada não está definida. Como o denominador
nunca é zero (porque
é sempre positivo), só precisamos resolver
.
Passo 6
Resolvendo a equação
:
-
⟹ . -
⟹ ⟹ .
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 7
Agora, vamos classificar cada um desses pontos como máximo ou mínimo.
Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal da derivada primeira ao redor dos pontos críticos. Vamos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada
a partir da primeira derivada
.
Passo 8
Calcular a segunda derivada é um pouco trabalhoso, então vamos simplificar o processo observando o comportamento da derivada primeira:
-
Para
, por exemplo : -
, então . -
.
-
-
Entre
e , por exemplo : -
, então . -
.
-
-
Entre
e , por exemplo : -
, então . -
.
-
-
Para
, por exemplo : -
, então . -
.
-
Passo 9
Analisando os sinais:
-
Em
: - Antes de
, . - Depois de
, . - Então, a função passa de crescente para decrescente, indicando um máximo em
.
- Antes de
-
Em
: - Antes de
, . - Depois de
, . - Então, a função passa de decrescente para crescente, indicando um mínimo em
.
- Antes de
-
Em
: - Antes de
, . - Depois de
, . - Então, a função passa de crescente para decrescente, indicando um máximo em
.
- Antes de
Resposta
Os extremos da função
são:
- Máximo em
. - Mínimo em
. - Máximo em
.