Encontre e classifique os extremos da equação
f(x)=6 x^2x^4+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os extremos da função
f(x) = 6x^2x^4 + 1
Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas para identificar os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos, ou seja, os seus extremos. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero ou indefinida, e então analisar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2 . Para isso, usaremos a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra. A regra diz que se , então
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de u'(x) = 12x e v'(x) = 4x^3 :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 4

Agora, aplicando a regra do quociente:
f'(x) = 12x (x^4 + 1) - 6x^2 (4x^3)(x^4 + 1)^2
Vamos simplificar o numerador:
12x (x^4 + 1) = 12x^5 + 12x,
e
6x^2 (4x^3) = 24x^5
Subtraindo:
12x^5 + 12x - 24x^5 = -12x^5 + 12x
Então, a derivada simplificada é:
f'(x) = -12x^5 + 12x(x^4 + 1)^2

Passo 5

Vamos fatorar o numerador para facilitar:
-12x^5 + 12x = -12x(x^4 - 1)
Então,
f'(x) = -12x(x^4 - 1)(x^4 + 1)^2
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver onde ou onde a derivada não está definida. Como o denominador nunca é zero (porque é sempre positivo), só precisamos resolver .

Passo 6

Resolvendo a equação :
  1. .
  2. .
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 7

Agora, vamos classificar cada um desses pontos como máximo ou mínimo.
Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal da derivada primeira ao redor dos pontos críticos. Vamos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada a partir da primeira derivada .

Passo 8

Calcular a segunda derivada é um pouco trabalhoso, então vamos simplificar o processo observando o comportamento da derivada primeira:
  • Para , por exemplo :
    • , então .
    • .
  • Entre e , por exemplo :
    • , então .
    • .
  • Entre e , por exemplo :
    • , então .
    • .
  • Para , por exemplo :
    • , então .
    • .

Passo 9

Analisando os sinais:
  • Em :
    • Antes de , .
    • Depois de , .
    • Então, a função passa de crescente para decrescente, indicando um máximo em .
  • Em :
    • Antes de , .
    • Depois de , .
    • Então, a função passa de decrescente para crescente, indicando um mínimo em .
  • Em :
    • Antes de , .
    • Depois de , .
    • Então, a função passa de crescente para decrescente, indicando um máximo em .

Resposta

Os extremos da função são:
  • Máximo em .
  • Mínimo em .
  • Máximo em .

Exercícios relacionados