Em cada um dos seguintes problemas, calcule a transformada de Laplace ou transformada inversa de Laplace indicada (Pode usar a definição da transformada de Laplace ou algumas das propriedades apresentadas).
mathscrL^-1s-1(s^2+1) s

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de s-1(s^2+1),s. Vamos usar propriedades de transformada de Laplace e, em especial, o método de frações parciais.

Passo 2

Para começar, escrevemos a decomposição em frações parciais:
s-1s,(s^2+1) = As + B,s + Cs^2+1
Multiplicando ambos os lados por s(s^2+1):
s - 1 = A,(s^2+1) + (B,s + C),s

Passo 3

Agora igualamos coeficientes de s^2, s e termo constante no polinômio:
Coeficiente de s^2: A + B = 0
Coeficiente de s: C = 1
Termo constante: A = -1.
Logo: A = -1, B = 1, (C = 1.

Passo 4

Substituindo de volta, fica
s-1s(s^2+1) = -1s + s+1s^2+1 = -1s + ss^2+1 + 1s^2+1
Aplicamos agora a transformada inversa termo a termo:
  • mathscrL^-11/s = 1
  • mathscrL^-1s/(s^2+1) = cos(t)
  • mathscrL^-11/(s^2+1) = sin(t).

Passo 5

Somando tudo, o resultado é
f(t) = -1 + cos(t) + sin(t), t>= 0

Resposta

f(t)=\cos(t)+\sin(t)-1

Exercícios relacionados