Determine o maior conjunto no qual a função é continua.
H(x, y)=e^x+e^ye^y-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o maior conjunto onde a função de duas variáveis
H(x,y)=e^x+e^ye^y-1
é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de várias variáveis, usando propriedades de continuidade da exponencial, da soma e do quociente.

Passo 2

Sabemos que a função e^t é contínua para todo tinR. Como soma de funções contínuas é contínua, o numerador e^x+e^y é contínuo em R^2.
O denominador e^y-1 também é contínuo em R^2. Pela propriedade do quociente, uma razão de funções contínuas é contínua desde que o denominador seja diferente de zero.

Passo 3

Precisamos então garantir
e^y-1neq0
Isso implica
e^yneq1Longrightarrow yneq0 .
Portanto, o maior conjunto em que H é contínua é
(x,y)inR^2:;yneq0

Resposta

{(x,y)\in\mathbb{R}^2:;y\neq0}

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