Em cada um dos seguintes problemas é dada uma função no intervalo -\pi<\mathrm{x}<\pi. Faça o esboço de vários períodos da função. Expanda a função periódica em série de Fourier. \displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x+\pi, & -\pi<x<0 \\\\ 0, & 0<x<\pi \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá uma função definida em [-\pi<x<\pi) por partes e pede duas coisas:
Fazer o esboço de vários períodos da função periódica de período 2\pi obtida a partir dessa definição no intervalo -\pi<x<\pi.
Expandir essa função periódica em série de Fourier.
Informações fornecidas (vou listar exatamente o que o enunciado dá):
Explicação do que cada termo significa, de forma prática:
\dfrac{a_0}{2} é a média (valor DC) da função no período.
Os termos a_n\cos(nx) capturam as componentes pares (cosenos), e os b_n\sin(nx) capturam as componentes ímpares (senos).
Para calcular cada coeficiente você substitui f(x) na integral e resolve — muitas vezes você aproveitará a forma por partes da função para quebrar as integrais.
Agora aplicamos essas fórmulas ao nosso f(x). Como f(x)=0 em 0<x<\pi, todas as integrais sobre -\pi a \pi reduzem-se a integrais sobre -\pi a 0 com integrando x+\pi. Vou fazer isso passo a passo.
Primeira integral: calcular \displaystyle\int_{-\pi}^{0} x\cos(nx)\,dx. Aplicamos integração por partes: tome u=x e dv=\cos(nx)\,dx. Então du=dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Logo
Agora calculemos os termos: em x=0 o primeiro termo vale 0 e \cos(0)=1. Em x=-\pi temos \sin(-n\pi)=-\sin(n\pi)=0 e \cos(-n\pi)=\cos(n\pi)=(-1)^n. Portanto
Em x=0 o termo -\dfrac{x\cos(nx)}{n}=0 e \sin(0)=0. Em x=-\pi temos -\dfrac{(-\pi)\cos(-n\pi)}{n} = \dfrac{\pi\cos(n\pi)}{n}=\dfrac{\pi(-1)^n}{n} e \sin(-n\pi)=0. Portanto
Podemos escrever de forma mais explícita, separando os termos de cosseno apenas com índices ímpares: para n=2m+1 (ímpar) temos a_{2m+1}=\dfrac{2}{\pi(2m+1)^2\!}, e para n=2m (par) a_{2m}=0. Então uma forma equivalente é
Sobre convergência: em pontos de continuidade a série converge para f(x). Em pontos de descontinuidade (por exemplo x=0) a série converge para a média dos limites laterais:
\text{no }x=0\text{ a série converge para }\frac{f(0^-)+f(0^+)}{2}=\frac{\pi+0}{2}=\frac{\pi}{2}.é
Isso é o comportamento padrão (e leva ao fenômeno de Gibbs próximo ao salto).
Quanto ao esboço de vários períodos (descrição curta e prática para desenhar à mão):
No intervalo -\pi<x<0 a função é a reta f(x)=x+\pi, que vai de f(-\pi^+)=0 até f(0^-)=\pi.
No intervalo 0<x<\pi a função é zero.
Repete-se esse padrão a cada comprimento 2\pi (isto é, desenhe a mesma peça para cada intervalo [k2\pi-\pi,k2\pi+\pi]).
Nos pontos de fronteira (como x=k\pi) você pode marcar o valor da série (ou seja, o valor médio): por exemplo em x=0 o valor da série é \pi/2.
Resposta
Esboço: No intervalo -\pi<x<0 a função é a reta f(x)=x+\pi (vai de 0 em x=-\pi^+ até \pi em x=0^-); em 0<x<\pi vale 0. A extensão periódica de período 2\pi repete esse padrão para todos os períodos.
Série de Fourier: