Em cada um dos seguintes problemas é dada uma função no intervalo -\pi<\mathrm{x}<\pi\). Faça o esboço de vários períodos da função. Expanda a função periódica em série de Fourier. \(\displaystyle f(x)= \begin{cases}0, \quad-\pi<x<\frac{\pi}{2}, \\\\ 1, \quad \frac{\pi}{2}<x<\pi . \end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função periódica (periodo 2\pi\)) definida no intervalo \(-\pi<x<\pi\) por \[f(x)=\begin{cases} 0, & -\pi<x<\dfrac{\pi}{2},\\[6pt] 1, & \dfrac{\pi}{2}<x<\pi. \end{cases}
O que o enunciado pede:
  1. Fazer o esboço de vários períodos da função (ou seja, descrever como fica sua extensão periódica de período 2\pi\]). 2. Expandir a função periódica em série de Fourier (ou seja, encontrar a série de Fourier de período \(2\pi que representa a extensão periódica de f).
Informações importantes dadas:
  • A função vale 0 no intervalo -\pi<x<\dfrac{\pi}{2}.
  • A função vale 1 no intervalo \dfrac{\pi}{2}<x<\pi.
  • Nos pontos de descontinuidade (por exemplo x=\dfrac{\pi}{2} e em x=\pm\pi) a definição original não dá valor; a série de Fourier converge nesses pontos para a média dos limites laterais.]

Passo 2

Esboço (descrição da extensão periódica):
  • Considere o intervalo base -\pi<x<\pi. Nele temos um degrau: f(x)=0 para -\pi<x<\dfrac{\pi}{2} e f(x)=1 para \dfrac{\pi}{2}<x<\pi.
  • A extensão periódica de período 2\pi repete esse padrão para todos os x. Assim, em cada intervalo [2k\pi-\pi,2k\pi+\pi) (para todo inteiro k) a função é 0 até o ponto x=2k\pi+\dfrac{\pi}{2} e é 1 de x=2k\pi+\dfrac{\pi}{2} até 2k\pi+\pi.
  • Nos pontos de salto (por exemplo x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi e x=\pm\pi+2k\pi) a série de Fourier irá convergir para o valor médio \dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}.
  • Visualmente: é uma onda quadrada assimétrica (duty cycle desigual): largura do trecho 0 é de \dfrac{3\pi}{2} no intervalo [-\,\pi,\pi) até \pi/2, e largura do trecho 1 é de \dfrac{\pi}{2}. Repetir esse padrão periodicamente.

Passo 3

Fórmula geral da série de Fourier (período 2\pi):
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Explico rapidamente cada uma:
  • \dfrac{a_0}{2} é o termo constante (média da função no período).
  • a_n mede a “projeção” da função sobre \cos(nx) (componentes pares).
  • b_n mede a “projeção” da função sobre \sin(nx) (componentes ímpares).
    Como f é função por partes com valores 0 e 1, as integrais serão fáceis porque só precisam ser calculadas no subintervalo onde f=1, ou seja \left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right).

Passo 4

Cálculo de a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}1\,dx =\frac{1}{\pi}\left[\;x\;\right]_{\pi/2}^{\pi} =\frac{1}{\pi}\left(\pi-\frac{\pi}{2}\right) =\frac{1}{2}.
Portanto o termo constante na série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{4}.

Passo 5

Cálculo de a_n (para n\ge 1):
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
Integramos:
\int\cos(nx)\,dx=\frac{\sin(nx)}{n},
logo
a_n=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{\pi/2}^{\pi} =\frac{1}{\pi n}\bigl(\sin(n\pi)-\sin(n\pi/2)\bigr).
Como \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n, obtemos
a_n=-\frac{1}{\pi n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).

Passo 6

Simplificação dos a_n por classes de n (módulo 4):
  • Se n=4k, então \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=\sin(2k\pi)=0, logo a_n=0.
  • Se n=4k+1, então \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=1, logo a_n=-\dfrac{1}{\pi n}.
  • Se n=4k+2, então \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=0, logo a_n=0.
  • Se n=4k+3, então \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=-1, logo a_n=\dfrac{1}{\pi n}.
Em resumo:
a_n=\begin{cases} 0, & n\text{ par},\\[4pt] -\dfrac{1}{\pi n}, & n\equiv 1\pmod{4},\\[4pt] \;\dfrac{1}{\pi n}, & n\equiv 3\pmod{4}. \end{cases}]

Passo 7

Cálculo de b_n (para n\ge 1):
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
Integramos:
\int\sin(nx)\,dx=-\frac{\cos(nx)}{n},
logo
b_n=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{\pi/2}^{\pi} =-\frac{1}{\pi n}\bigl(\cos(n\pi)-\cos(n\pi/2)\bigr).
Usando \cos(n\pi)=(-1)^n, obtemos a forma compacta
b_n=\frac{1}{\pi n}\Bigl(\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-(-1)^n\Bigr).

Passo 8

Simplificação dos b_n por classes de n (módulo 4):
  • Se n=4k: \cos\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=\cos(2k\pi)=1 e (-1)^n=1, então b_n=\dfrac{1}{\pi n}(1-1)=0.
  • Se n=4k+1: \cos\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=0 e (-1)^n=-1, então b_n=\dfrac{1}{\pi n}(0-(-1))=\dfrac{1}{\pi n}.
  • Se n=4k+2: \cos\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=-1 e (-1)^n=1, então b_n=\dfrac{1}{\pi n}(-1-1)=-\dfrac{2}{\pi n}.
  • Se n=4k+3: \cos\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=0 e (-1)^n=-1, então b_n=\dfrac{1}{\pi n}(0-(-1))=\dfrac{1}{\pi n}.
Em resumo:
b_n=\begin{cases} 0, & n\equiv 0\pmod{4},\\[4pt] \dfrac{1}{\pi n}, & n\text{ ímpar} \; (n\equiv1,3\pmod{4}),\\[6pt] -\dfrac{2}{\pi n}, & n\equiv 2\pmod{4}. \end{cases}í]

Passo 9

Escrevendo a série de Fourier com as fórmulas encontradas.
Forma compacta (usando as expressões com \sin e \cos de argumentos múltiplos):
f(x)\sim \frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{\pi n}\cos(nx) +\frac{\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-(-1)^n}{\pi n}\sin(nx)\right).
Também é possível escrever a série com os coeficientes a_n,b_n já simplificados por classes de n caso queira listar termo a termo (mas a forma compacta acima é direta e correta).
Observação sobre convergência:
  • Onde f é contínua, a série converge para f(x).
  • Nos pontos de salto (por exemplo x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi e x=\pm\pi+2k\pi) a série converge para a média dos limites laterais, isto é \dfrac{1}{2}.

Resposta

Esboço: A extensão periódica de período 2\pi é uma função de degrau que vale 0 em -\pi<x<\dfrac{\pi}{2} e vale 1 em \dfrac{\pi}{2}<x<\pi, repetida para todos os intervalos [2k\pi-\pi,2k\pi+\pi). Nos pontos de salto a série toma o valor \dfrac{1}{2}.
Série de Fourier:
f(x)\sim \frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{\pi n}\cos(nx) +\frac{\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-(-1)^n}{\pi n}\sin(nx)\right).

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