Em cada um dos seguintes problemas é dada uma função no intervalo -\pi<\mathrm{x}<\pi\). Faça o esboço de vários períodos da função. Expanda a função periódica em série de Fourier.
\(\displaystyle f(x)= \begin{cases}0, \quad-\pi<x<\frac{\pi}{2}, \\\\ 1, \quad \frac{\pi}{2}<x<\pi . \end{cases}
Passo 1
O enunciado dá a função periódica (periodo 2\pi\)) definida no intervalo \(-\pi<x<\pi\) por
\[f(x)=\begin{cases} 0, & -\pi<x<\dfrac{\pi}{2},\\[6pt] 1, & \dfrac{\pi}{2}<x<\pi. \end{cases}
O que o enunciado pede:
Fazer o esboço de vários períodos da função (ou seja, descrever como fica sua extensão periódica de período 2\pi\]).
2. Expandir a função periódica em série de Fourier (ou seja, encontrar a série de Fourier de período \(2\pi que representa a extensão periódica de f).
Informações importantes dadas:
A função vale 0 no intervalo -\pi<x<\dfrac{\pi}{2}.
A função vale 1 no intervalo \dfrac{\pi}{2}<x<\pi.
Nos pontos de descontinuidade (por exemplo x=\dfrac{\pi}{2} e em x=\pm\pi) a definição original não dá valor; a série de Fourier converge nesses pontos para a média dos limites laterais.]
Passo 2
Esboço (descrição da extensão periódica):
Considere o intervalo base -\pi<x<\pi. Nele temos um degrau: f(x)=0 para -\pi<x<\dfrac{\pi}{2} e f(x)=1 para \dfrac{\pi}{2}<x<\pi.
A extensão periódica de período 2\pi repete esse padrão para todos os x. Assim, em cada intervalo [2k\pi-\pi,2k\pi+\pi) (para todo inteiro k) a função é 0 até o ponto x=2k\pi+\dfrac{\pi}{2} e é 1 de x=2k\pi+\dfrac{\pi}{2} até 2k\pi+\pi.
Nos pontos de salto (por exemplo x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi e x=\pm\pi+2k\pi) a série de Fourier irá convergir para o valor médio \dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}.
Visualmente: é uma onda quadrada assimétrica (duty cycle desigual): largura do trecho 0 é de \dfrac{3\pi}{2} no intervalo [-\,\pi,\pi) até \pi/2, e largura do trecho 1 é de \dfrac{\pi}{2}. Repetir esse padrão periodicamente.
\dfrac{a_0}{2} é o termo constante (média da função no período).
a_n mede a “projeção” da função sobre \cos(nx) (componentes pares).
b_n mede a “projeção” da função sobre \sin(nx) (componentes ímpares).
Como f é função por partes com valores 0 e 1, as integrais serão fáceis porque só precisam ser calculadas no subintervalo onde f=1, ou seja \left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right).
Também é possível escrever a série com os coeficientes a_n,b_n já simplificados por classes de n caso queira listar termo a termo (mas a forma compacta acima é direta e correta).
Observação sobre convergência:
Onde f é contínua, a série converge para f(x).
Nos pontos de salto (por exemplo x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi e x=\pm\pi+2k\pi) a série converge para a média dos limites laterais, isto é \dfrac{1}{2}.
Resposta
Esboço: A extensão periódica de período 2\pi é uma função de degrau que vale 0 em -\pi<x<\dfrac{\pi}{2} e vale 1 em \dfrac{\pi}{2}<x<\pi, repetida para todos os intervalos [2k\pi-\pi,2k\pi+\pi). Nos pontos de salto a série toma o valor \dfrac{1}{2}.