Em cada um dos seguintes problemas é dada uma função no intervalo -\pi<\mathrm{x}<\pi. Faça o esboço de vários períodos da função. Expanda a função periódica em série de Fourier. f(x)=1+x, \quad-\pi<x<\pi.
Passo 1
O enunciado dá a função no intervalo -\pi<x<\pi
f(x)=1+x
e pede dois coisas: (1) esboçar vários períodos da extensão periódica dessa função; (2) expandir a função periódica em série de Fourier. Informações relevantes: o intervalo base é -\pi<x<\pi (comprimento 2\pi), portanto a extensão periódica terá período 2\pi. Os pontos finais do intervalo são x=-\pi e x=\pi; os valores unilaterais próximos a esses pontos são \lim_{x\to -\pi^+}f(x)=1-\pi e \lim_{x\to \pi^-}f(x)=1+\pi. Essas são todas as informações que vamos usar.
Passo 2
Descrevendo o esboço (você pode desenhar isso rapidamente na prova): dentro de -\pi<x<\pi a função é uma reta de inclinação 1 com intercepto 1. Ou seja, em x=0 temos f(0)=1; em x=-\pi o valor da reta (pela extensão pela direita do intervalo) é 1-\pi; em x=\pi o valor pela esquerda é 1+\pi. A extensão periódica de período 2\pi repete esse segmento linear a cada intervalo de comprimento 2\pi. Portanto o gráfico é um “sawtooth” (dente de serra): segmentos retos com inclinação 1 conectando, por exemplo, o ponto imediatamente à direita de -\pi até imediatamente à esquerda de \pi, e em x=\pi+2k\pi ocorre um salto (discontinuidade) para o valor 1-\pi do início do próximo período. O salto na passagem por x=\pi+2k\pi tem magnitude
(1-\pi)-(1+\pi)=-2\pi,
ou seja, o valor cai verticalmente em 2\pi. Assim, ao desenhar, trace uma reta de -\pi a \pi com inclinação 1, e repita isso para os períodos adjacentes, com saltos descendentes de 2\pi nos limites do intervalo.
Passo 3
Agora vamos à série de Fourier. Para uma função 2\pi-periódica integrável, a expansão de Fourier na forma trigonométrica é
Aqui n é um inteiro positivo que indexa os harmônicos; \cos(nx) e \sin(nx) são as funções base ortogonais; e as integrais são sobre um período [-\pi,\pi].
A primeira integral \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx=0 para n\ge1 (integral sobre um número inteiro de meias-oscilações). Para a segunda integral usamos integração por partes. Seja u=x, dv=\cos(nx)\,dx. Então du=dx e v=\dfrac{1}{n}\sin(nx). Assim
O termo de fronteira é zero porque \sin(n\pi)=0. A integral de \sin(nx) em [-\pi,\pi] também é zero (função ímpar). Portanto \int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)\,dx=0. Concluímos
A primeira integral \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx=0. Para a segunda, usamos integração por partes: tome u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{1}{n}\cos(nx). Assim
Comentário sobre convergência (útil na prova): onde f é contínua (ou seja, em todo x que não sejam os pontos x=\pi+2k\pi), a série converge para f(x). Nos pontos de descontinuidade (as fronteiras dos períodos) a série converge para a média dos limites laterais, que é \dfrac{(1+\pi)+(1-\pi)}{2}=1 — justamente o valor do termo médio a_{0}/2.