Em cada um dos seguintes problemas, determine se a integral impropria converge ou não e ache seu valor se convergir:
integral0^infty d x(1+x)^3

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
integral0^inftydx(1+x)^3
converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor. Este problema envolve integrais impróprias em intervalo infinito e uso de antiderivadas.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite em b:
integral0^inftydx(1+x)^3 = limbtoinftyintegral0^b(1+x)^-3,dx
Como o integrando se comporta como x^-3 para xtoinfty (expoente maior que 1 em valor absoluto), esperamos convergência.

Passo 3

Encontramos a antiderivada de (1+x)^-3. Pela regra de potência:
integral(1+x)^-3,dx = (1+x)^-2-2 + C = -12(1+x)^-2 + C

Passo 4

Aplicamos o teorema fundamental e avaliamos o limite:
limbtoinftyl[-tfrac12(1+b)^-2r] -l[-tfrac12(1+0)^-2r] = 0 -l(-tfrac12r) = tfrac12
Portanto a integral converge.

Resposta

A integral converge e vale tfrac12.

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