Encontre os pontos de inflexão e discuta a concavidade do gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos de inflexão e discutir a concavidade da função
no intervalo
. Para isso vamos precisar de suas derivadas primeira e segunda, já que um ponto de inflexão ocorre quando a concavidade muda de sinal, ou seja, quando
e troca de sinal.
Passo 2
Calculando as derivadas:
Passo 3
Para achar os pontos de inflexão, resolvemos
No intervalo
, isso ocorre em
Passo 4
Agora discutimos a concavidade avaliando o sinal de
:
- Se
, então e a função é côncava para cima. Isso dá o intervalo
. - Se
, então e a função é côncava para baixo. Isso ocorre em
e em .
Passo 5
Para obter as coordenadas dos pontos de inflexão, calculamos
em
e em
:
Resposta
Os pontos de inflexão são
e
.
A função é côncava para baixo em e em
, e côncava para cima em
.
A função é côncava para baixo em