Encontre os pontos de inflexão e discuta a concavidade do gráfico da função
f(x)=x+2 cos (x) x in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de inflexão e discutir a concavidade da função
f(x)=x+2cos(x),
no intervalo [0,2pi]. Para isso vamos precisar de suas derivadas primeira e segunda, já que um ponto de inflexão ocorre quando a concavidade muda de sinal, ou seja, quando f''(x)=0 e troca de sinal.

Passo 2

Calculando as derivadas:
f'(x)=ddxl(x+2cos(x)r)=1-2sin(x),
f''(x)=ddxl(1-2sin(x)r)=-2cos(x)

Passo 3

Para achar os pontos de inflexão, resolvemos
f''(x)=0implies -2cos(x)=0implies cos(x)=0
No intervalo [0,2pi], isso ocorre em
x=pi2 e x=3pi2

Passo 4

Agora discutimos a concavidade avaliando o sinal de f''(x)=-2cos(x):
  • Se cos(x)<0, então f''(x)>0 e a função é côncava para cima. Isso dá o intervalo
    l(tfracpi2,tfrac3pi2r).
  • Se cos(x)>0, então f''(x)<0 e a função é côncava para baixo. Isso ocorre em
    l(0,tfracpi2r) e em l(tfrac3pi2,2pir).

Passo 5

Para obter as coordenadas dos pontos de inflexão, calculamos f em x=tfracpi2 e em x=tfrac3pi2:
fl(tfracpi2r) =tfracpi2+2cosl(tfracpi2r) =tfracpi2+2cdot0 =tfracpi2,
fl(tfrac3pi2r) =tfrac3pi2+2cosl(tfrac3pi2r) =tfrac3pi2+2cdot0 =tfrac3pi2

Resposta

Os pontos de inflexão são
l(tfracpi2,,tfracpi2r) e l(tfrac3pi2,,tfrac3pi2r).
A função é côncava para baixo em l(0,tfracpi2r) e em l(tfrac3pi2,2pir), e côncava para cima em l(tfracpi2,tfrac3pi2r).

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