Utilize o teorema da divergência para transformar a integral de superfície integral duplaS F cdot n d S numa integral tripla e calcule, onde S é a fronteira do cilindro T=(x, y, z) in Re^3 / x^2+y^2 <= 1,0 <= z <= 1, e F(x, y, z)=x i+y j+z^2 k e n a normal apontando para fora de T .

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS
pela superfície fechada S=partial T, onde
T=(x,y,z)mid x^2+y^2<=1,;0<= z<=1
e vec F(x,y,z)=x,vec i+y,vec j+z^2,vec k.
Vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS=integral triplaTnabla!cdot!vec F,dV

Passo 2

Calculamos a divergência de vec F:
nabla!cdot!vec F =partialpartial x(x) +partialpartial y(y) +partialpartial z(z^2) =1+1+2z =2+2z

Passo 3

O teorema dá
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS =integral triplaT(2+2z),dV
Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z):
dV=r,dr,dtheta,dz, 0<= r<=1, ; 0<=theta<=2pi, ; 0<= z<=1

Passo 4

A integral fica
integral0^2pi!integral0^1!integral0^1(2+2z),r,dr,dz,dtheta =2piintegral0^1!integral0^1(2+2z),r,dr,dz
Primeiro em r:
integral0^1r,dr=12,
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2piintegral0^1(2+2z)12,dz =piintegral0^1(2+2z),dz =pil[2z+z^2r]0^1 =pi(2+1) =3pi

Resposta

O fluxo é 3pi.

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