Em cada um dos seguintes problemas, determine se a integral impropria converge ou não e ache seu valor se convergir:
integral8^infty d xx^43

Passo 1

O enunciado nos dá a integral imprópria
integral8^infty dxx^43,
que é do tipo “limite no infinito” e envolve a função x^-4/3. Vamos usar o critério p–integral e, em seguida, calcular a primitiva para achar seu valor caso converja.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de uma integral própria:
I = integral8^infty x^-tfrac43,dx = limbtoinfty integral8^b x^-tfrac43,dx

Passo 3

Calculamos a primitiva de x^-4/3. Lembrando que, para alphaneq -1,
integral x^alpha,dx = x^alpha+1alpha+1,
aqui alpha = -tfrac43, então alpha+1 = -tfrac13. Logo,
integral x^-tfrac43,dx = x^-tfrac13-tfrac13 = -3,x^-tfrac13
Portanto,
integral8^b x^-tfrac43,dx = l[-3,x^-tfrac13r]8^b = -3,b^-tfrac13 - l(-3cdot 8^-tfrac13r)

Passo 4

Agora avaliamos o limite btoinfty. Como b^-tfrac13to 0 quando btoinfty e 8^-tfrac13=(2^3)^-tfrac13=2^-1=tfrac12, temos
I = limbtoinftyl(-3,b^-tfrac13 + 3cdot 8^-tfrac13r) = 0 + 3cdot tfrac12 = tfrac32
Como o resultado é finito, a integral converge.

Resposta

A integral converge e vale tfrac32.

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