Nos itens abaixo, ache: (i) os intervalos nos quais f é crescente; (ii) os intervalos nos quais f' é decrescente; (iii) os intervalos abertos nos quais f' é côncava para cima; (iv) os intervalos abertos nos quais f' é côncava para baixo; (v) as coordenadas x de todos os pontos de inflexão e (vi) achar os extremos relativos dos itens b e d.
f(x)=x^2-5 x+6

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=x^2-5x+6,
(i) os intervalos onde f é crescente;
(ii) os intervalos onde f é decrescente;
(iii) os intervalos abertos onde f é côncava para cima;
(iv) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo;
(v) as abscissas de todos os pontos de inflexão;
(vi) os extremos relativos correspondentes aos itens (ii) e (iv).
Para isso vamos precisar de f'(x) e de f''(x), analisando seus sinais e eventuais zeros.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira:
f'(x) = ddxl(x^2-5x+6r) = 2x - 5
Para achar onde f cresce ou decresce, resolvemos f'(x)>0 e f'(x)<0:
2x-5>0 ;Longrightarrow; x>52,
2x-5<0 ;Longrightarrow; x<52

Passo 3

Logo,
(i) f é crescente em
l(tfrac52,,+inftyr)
(ii) f é decrescente em
l(-infty,;tfrac52r)

Passo 4

Agora a derivada segunda:
f''(x)=ddxl(2x-5r)=2
Como f''(x)=2>0 para todo x, concluímos que
(iii) f é côncava para cima em
(-infty,,+infty),
(iv) f não é côncava para baixo em nenhuma parte do domínio.

Passo 5

Pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 ou muda de sinal. Aqui f''(x)=2neq0 e é constante, logo
(v) não há pontos de inflexão.

Passo 6

Extremos relativos em (ii) e (iv):
– Em (ii) temos mudança de f' de negativa (antes de x=tfrac52) para positiva (depois de x=tfrac52), logo há um mínimo relativo em x=tfrac52.
– Em (iv) não há região concava-para-baixo, logo não há máximo relativo associado.
O valor de f nesse mínimo é
fl(tfrac52r) =l(tfrac52r)^2-5l(tfrac52r)+6 =254-252+6 =25-50+244 =-14

Resposta

(i) l(tfrac52,,+inftyr)
(ii) l(-infty,;tfrac52r)
(iii) (-infty,,+infty)
(iv) nenhum
(v) nenhum
(vi) mínimo relativo em l(tfrac52,,-tfrac14r); não há máximo relativo.

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