Nos itens abaixo, ache: (i) os intervalos nos quais
é crescente; (ii) os intervalos nos quais
é decrescente; (iii) os intervalos abertos nos quais
é côncava para cima; (iv) os intervalos abertos nos quais
é côncava para baixo; (v) as coordenadas
de todos os pontos de inflexão e (vi) achar os extremos relativos dos itens b e d.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
(i) os intervalos onde
é crescente;
(ii) os intervalos onde é decrescente;
(iii) os intervalos abertos onde é côncava para cima;
(iv) os intervalos abertos onde é côncava para baixo;
(v) as abscissas de todos os pontos de inflexão;
(vi) os extremos relativos correspondentes aos itens (ii) e (iv).
Para isso vamos precisar de e de
, analisando seus sinais e eventuais zeros.
(ii) os intervalos onde
(iii) os intervalos abertos onde
(iv) os intervalos abertos onde
(v) as abscissas de todos os pontos de inflexão;
(vi) os extremos relativos correspondentes aos itens (ii) e (iv).
Para isso vamos precisar de
Passo 2
Calculemos a derivada primeira:
Para achar onde
cresce ou decresce, resolvemos
e
:
Passo 3
Logo,
(i) é crescente em
(i)
(ii)
é decrescente em
Passo 4
Agora a derivada segunda:
Como
para todo
, concluímos que
(iii) é côncava para cima em
(iii)
(iv)
não é côncava para baixo em nenhuma parte do domínio.
Passo 5
Pontos de inflexão ocorrem onde
ou muda de sinal. Aqui
e é constante, logo
(v) não há pontos de inflexão.
(v) não há pontos de inflexão.
Passo 6
Extremos relativos em (ii) e (iv):
– Em (ii) temos mudança de de negativa (antes de
) para positiva (depois de
), logo há um mínimo relativo em
.
– Em (iv) não há região concava-para-baixo, logo não há máximo relativo associado.
O valor de nesse mínimo é
– Em (ii) temos mudança de
– Em (iv) não há região concava-para-baixo, logo não há máximo relativo associado.
O valor de
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv) nenhum
(v) nenhum
(vi) mínimo relativo em ; não há máximo relativo.
(ii)
(iii)
(iv) nenhum
(v) nenhum
(vi) mínimo relativo em