Em cada um dos seguintes problemas, determine se a integral impropria converge ou não e ache seu valor se convergir:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
e, se ela convergir, calcular seu valor.
O conteúdo aqui é teste de comparação para mostrar convergência e depois avaliação aproximada por regras numéricas.
O conteúdo aqui é teste de comparação para mostrar convergência e depois avaliação aproximada por regras numéricas.
Passo 2
Para
temos
Como a integral
converge (pois o expoente
), pela comparação com função positiva menor ou igual à esta, concluímos que
converge.
Passo 3
Vamos agora estimar numericamente o valor da integral dividindo o intervalo em três partes:
,
e
.
(i) Em
, aplicamos a regra de Simpson com
. Calculamos
Logo
Passo 4
(ii) Em
, usamos Simpson com
. Temos
e
(iii) Para a cauda
, comparamos de novo a função com
:
e sabemos
Como
é levemente menor, a cauda vale um pouco menos que
. Usando a expansão assintótica ou avaliação numérica refinada, obtemos aproximadamente
.
Somando as três partes,
Resposta
A integral converge e seu valor aproximado é