Em cada um dos seguintes problemas, determine se a integral impropria converge ou não e ache seu valor se convergir:
integral1^infty d xraiz1+x^3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral1^inftydxraiz1+x^3
e, se ela convergir, calcular seu valor.
O conteúdo aqui é teste de comparação para mostrar convergência e depois avaliação aproximada por regras numéricas.

Passo 2

Para xtoinfty temos
1raiz1+x^3sim1x^3/2
Como a integral
integral1^inftyx^-3/2,dx
converge (pois o expoente 3/2>1), pela comparação com função positiva menor ou igual à esta, concluímos que
integral1^inftydxraiz1+x^3
converge.

Passo 3

Vamos agora estimar numericamente o valor da integral dividindo o intervalo em três partes: [1,2], [2,4] e [4,infty).
(i) Em [1,2], aplicamos a regra de Simpson com h=0,5. Calculamos
f(1)=1raiz2approx0,7071, f(1,5)=1raiz1+3,375approx0,4781, f(2)=1raiz9=tfrac13approx0,3333
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integral1^2f(x),dxapprox0,53l(f(1)+4f(1,5)+f(2)r) =0,53(0,7071+4cdot0,4781+0,3333)approx0,4920

Passo 4

(ii) Em [2,4], usamos Simpson com h=1. Temos
f(2)=0,3333, f(3)=1raiz1+27approx0,1890, f(4)=1raiz65approx0,1240,
e
integral2^4f(x),dxapprox13(0,3333+4cdot0,1890+0,1240)approx0,4041
(iii) Para a cauda [4,infty), comparamos de novo a função com x^-3/2:
0<= f(x)<= x^-3/2(x>=4),
e sabemos
integral4^inftyx^-3/2,dx =l[-2,x^-1/2r]4^infty =2cdot1raiz4=1
Como f(x) é levemente menor, a cauda vale um pouco menos que 1. Usando a expansão assintótica ou avaliação numérica refinada, obtemos aproximadamente 0,998.
Somando as três partes,
integral1^inftydxraiz1+x^3 approx0,4920+0,4041+0,9980=1,8941approx1,894

Resposta

A integral converge e seu valor aproximado é
integral1^inftydxraiz1+x^3approx1,894

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